Gauss metode (banebestemmelse)

Gauss-metoden i himmelmekanik og astrodynamik bruges til indledningsvis at bestemme parametrene for et himmellegemes kredsløb ud fra tre observationer.

I praksis bruges flere observationer for at øge nøjagtigheden, men tre er nok i teorien. Ud over objektets himmelkoordinater er den nødvendige information observationstiderne og de jordiske koordinater for observationspunkterne.

Historie

I 1801 blev Ceres opdaget , men i nogen tid var dets observationer vanskelige på grund af dens nærhed til Solen, hvorefter det var svært at finde den igen på himlen. Carl Friedrich Gauss satte sig selv til opgave at bestemme dens kredsløb ud fra de tilgængelige observationer, på grund af hvilke han opnåede verdensomspændende berømmelse [1] . Metoden beskrevet nedenfor er dog kun egnet til at bestemme baner med fokus i kroppen, hvorfra der foretages observationer, så Gauss' problem var sværere.

Observatørens positionsvektor

Observatørens positionsvektor (i det ækvatoriale koordinatsystem ) kan beregnes ved at kende observationsstedets breddegrad og lokal siderisk tid :

\mathbf {R_{n}} =\venstre[{R_{e} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}} ))+H_{n}\right]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I)) +\sin \theta _{n}\ \mathbf { \hat {J}} )+\venstre[{R_{e}(1-f)^{2} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n))))+H_{n}\right]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K))

eller:

\mathbf {R_{n)) =R_{e}\cos \phi '_{n}\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I)) +R_{e}\cos \phi '_{n}\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J)) +R_{e}\sin \phi '_{n}\ \mathbf {\hat {K)) ,

hvor:

$\mathbf {R_{n}}$ er observatørens positionsvektor;
$R_{e}$ er den ækvatoriale radius af det legeme, hvorpå observatøren er placeret;
$f$ - kroppens oblatitet ved polerne (for eksempel for Jorden - 0,003353);
$\phi _{n}$ — geodætisk breddegrad;
${\displaystyle \phi '_{n))$ — geocentrisk breddegrad;
$H_n$ - højde;
$\theta_n$ - lokal siderisk tid.

Retningsvektor til objekt

Retningsvektoren til et objekt kan beregnes ved hjælp af deklination og højre ascension :

\mathbf {{\hat {\rho }}_{n}}=\cos \delta _{n}\cos \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\cos \ delta _{n}\sin \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {J)) +\sin \delta _{n}\ \mathbf {\hat {K))

hvor:

$\mathbf {{\hat {\rho ))_{n))$ er enhedsretningsvektoren til objektet;
$\delta _{n}$ - deklination;
$\alpha_{n}$ - højre opstigning.

Orbit definition

Dernæst skal du få afstandsvektoren til objektet, og ikke kun enhedsretningsvektoren til det.

Trin 1

Intervallerne mellem observationer beregnes:

{\displaystyle \tau _{1}=t_{1}-t_{2))

{\displaystyle \tau _{3}=t_{3}-t_{2))

\tau =t_{3}-t_{1},

hvor er observationstiderne. $t_{n}$

Trin 2

Vektorprodukter beregnes :

\mathbf {p_{1}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

\mathbf {p_{2}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

\mathbf {p_{3}} =\mathbf ({\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

Trin 3

Blandede produkter beregnes :

D_{0}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1} } \cdot (\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}} )

D_{11}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{12}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{13}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{3}}

D_{21}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{22}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{23}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{3}}

D_{31}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{32}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2} } \qquad D_{33}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{3}}

Trin 4

Positionskoefficienter beregnes:

A={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{ 32}{\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right)

B={\frac {1}{6D_{0}}}\left[D_{12}\left(\tau _{3}^{2}-\tau ^{2}\right){\ frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{32}\left(\tau ^{2}-\tau _{1}^{2}\right){\frac {\tau _{ 1}}{\tau}}\right]

E=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

Trin 5

Modulet for observatørens positionsvektor på tidspunktet for den anden observation beregnes:

{R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}}

Trin 6

Polynomiekoefficienterne beregnes for at finde afstanden:

a=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\right)

b=-2\mu B(A+E)

c=-\mu ^{2}B^{2},

hvor er kroppens gravitationsparameter, som rotationen foregår omkring. $\mu$

Trin 7

Vi leder efter løsninger på ligningen:

{r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0,

hvor er afstanden til objektet på tidspunktet for den anden observation. $r_{2}$

En kubisk ligning kan have op til tre rigtige rødder. Hvis der er mere end én af dem, skal du tjekke hver af dem.

Trin 8

Afstandene fra observationspunkter til objektet beregnes ved hvert observationsmoment:

\rho _{1}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{31}{\dfrac {\tau _{1}}{ \tau _{3}}}+D_{21}{\dfrac {\tau }{\tau _{3}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{31}\ venstre(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right)}}-D_{11}\right]

{\displaystyle \rho _{2}=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3))))

\rho _{3}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{13}{\dfrac {\tau _{3}}{ \tau _{1))}-D_{23}{\dfrac {\tau }{\tau _{1))}\right){r_{2))^{3}+\mu D_{13}\ venstre(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}}{6{r_{ 2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right)}}-D_{33}\right]

Trin 9

Objektets positionsvektorer beregnes (i det ækvatoriale koordinatsystem ):

\mathbf {r_{1}} =\mathbf {R_{1}} +\rho _{1}\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}}

\mathbf {r_{2}} =\mathbf {R_{2}} +\rho _{2}\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}

\mathbf {r_{3}} =\mathbf {R_{3}} +\rho _{3}\mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}

Trin 10

Lagrange- koefficienterne beregnes . På grund af dette punkt bliver definitionen af baner unøjagtig:

f_{1}\ca. 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu {{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^ {2}

f_{3}\ca. 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu {{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^ {2}

g_{1}\approx \tau _{1}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _ {1}}^{3}

g_{3}\approx \tau _{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _ {3}}^{3}

Trin 11

Objektets hastighedsvektor beregnes på tidspunktet for den anden observation (i det ækvatoriale koordinatsystem):

\mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_ {1}} +f_{1}\mathbf {r_{3}} \right)

Trin 12

Nu kender vi objektets position og hastighed på et tidspunkt. Derfor er det muligt at bestemme parametrene for kredsløbet [2] .

Noter

↑ Gauss . Hentet 11. marts 2020. Arkiveret fra originalen 15. maj 2012. (ubestemt)
↑ Orbital mekanik for ingeniørstuderende . Hentet 11. marts 2020. Arkiveret fra originalen 10. november 2020. (ubestemt)

Litteratur

Der, Gim J.. "Nye vinkler-kun algoritmer til indledende kredsløbsbestemmelse." Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). print _

Himmelsk mekanik

Love og opgaver	Newtons love Tyngdeloven Keplers love To kropsproblem Tre kropsproblem Gravitationelt N-legeme problem Bertrands problem Keplers ligning
Himmelsfære	Himmelsk koordinatsystem galaktisk vandret ækvatorial ekliptik Internationalt himmelsk koordinatsystem Sfærisk koordinatsystem verdens akse Himmelsk ækvator højre opstigning deklination Ekliptik Equinox Solhverv grundplan
Baneparametre _	Kepleriske elementer i kredsløbet excentricitet semi-hovedakse betyder anomali stigende node længdegrad periapsis argument Apocenter og periapsis Orbital hastighed Orbit node Epoke
Bevægelse af himmellegemer	Solens og planeternes bevægelse i himmelsfæren Ephemeris Planet konfigurationer konfrontation sammensatte kvadratur forlængelse parade af planeter Formørkelse solformørkelse måneformørkelse saros Metonisk cyklus Belægning Går igennem klimaks siderisk periode synodisk periode Rotationsperiode orbital resonans Equinox præludium Tilnærmelse librering Tyngdekraftens omfang Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov effekt

Astrodynamik

Rumfart	rumhastighed første (cirkulær) anden (parabolsk) tredje fjerde Tsiolkovskys formel Tyngdekraftsmanøvre Hohmanns bane Metode til at oskulere elementer Tidevandsacceleration Orbital hældningsændring Interplanetarisk transportnetværk Docking Lagrange punkter Pioneer effekt
SC -kredsløb	geostationær bane Heliocentrisk bane geosynkron bane geocentrisk bane geotransfer kredsløb Lav kredsløb om jorden polær bane Orbit "Tundra" Solsynkron bane Orbit "Lyn" Oskulerende kredsløb