Maksimal ideel

Et maksimalt ideal for en kommutativ ring er ethvert egentligt ideal for ringen, som ikke er indeholdt i noget andet egentligt ideal.

Egenskaber

• (Vi antager endvidere, at vi taler om ringe med en enhed .) Sættet af alle idealer for en ring er induktivt ordnet med hensyn til inklusion, derfor ( Zorns Lemma ) i enhver ring er der desuden maksimale idealer for ethvert egentligt ideal I af ringen R er der et maksimalt ideal for ringen R , som indeholder den.

• Hvis et element a i ringen R ikke er inverterbart , danner alle elementer i ringen, der er multipla af den, et egentligt ideal. Derfor er ethvert irreversibelt element i ringen indeholdt i et eller andet maksimalt ideal. Hvis et element a er inverterbart, falder ethvert ideal, der indeholder det, sammen med hele ringen, så inverterbare elementer er ikke indeholdt i henholdsvis noget egentligt ideal og i et maksimalt.

• Hvis alle irreversible elementer i ringen R danner et ideal, så er det maksimalt, og desuden unikt - der er ingen andre maksimale idealer i ringen R. (Det modsatte er også sandt: hvis et maksimalt ideal i en ring R er unikt, inkluderer det alle ikke-inverterbare elementer i ringen.) I dette tilfælde kaldes ringen R en lokal ring .

• En karakteristisk egenskab ved et maksimalt ideal: et ideal for en ring er maksimalt, hvis og kun hvis kvotientringen er et felt (hvert ikke-nul-element i det er inverterbart).

• Hvis ringen R har strukturen af ​​en Banach-algebra over feltet af komplekse tal C , så er kvotientringen ved det maksimale ideal R/I isomorf til C . I dette tilfælde definerer idealet I en homomorfi af ringen R i feltet C , hvis kerne er idealet I.
  For hvert a er der et enkelt tal , således at ( e er identiteten af ​​algebraen R ). Korrespondance er den samme homomorfi.

• Det følger af den karakteristiske egenskab, at ethvert maksimalt ideal er prime .

Eksempler

• I ringen af ​​heltal Z er de maksimale idealer alle primidealer : hvis p er et primtal, så er idealet ( p )= pZ maksimalt . For eksempel danner lige tal et maksimumsideal, og tal, der er multipla af 4, danner et ideal, men ikke et maksimum - dette ideal er indeholdt i idealet om lige tal.
• I polynomialringen k[X,Y] , hvor k er et algebraisk lukket felt , er de maksimale idealer af formen .
• Ringen af ​​potensrækker over feltet k er en lokal ring . Irreversible elementer er dem, der ikke indeholder et gratis medlem. De danner et ideal. Han er det eneste maksimale ideal i denne ring.