Lokalt felt

Et lokalt felt er en specifik type felt med en topologi , der ofte vises som fuldførelser af felter.

Definition

Et lokalt kompakt topologisk felt med ikke- diskret topologi kaldes lokal .

Typer

Der er to hovedtyper af lokale felter: dem, hvor den absolutte værdi er Archimedean , og dem, hvor den ikke er det. Førstnævnte kaldes arkimediske lokale marker , mens sidstnævnte kaldes ikke-arkimediske lokale marker .

Ethvert lokalt felt er isomorft (som et topologisk felt) til et af følgende felter:

Arkimediske lokale felter ( karakteristik er nul): feltet med reelle tal og feltet med komplekse tal . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Ikke-arkimediske lokale felter med karakteristisk nul: p -adiske tal og deres endelige forlængelser . $\Q_p$
Ikke-arkimediske lokale karakteristiske felter : formelle Laurent-serier over et begrænset felt og deres endelige forlængelser . $p\neq 0$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Egenskaber

Generelle egenskaber

Den additive gruppe af et lokalt felt, som enhver lokalt kompakt topologisk gruppe , har et unikt (op til multiplikation med et positivt tal) Haar-mål μ.
På ethvert lokalt felt kan du indtaste en absolut værdi , således at $K$ $|a|$ $|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)))$

for nogle (og dermed enhver) målbar delmængde med et endeligt Haar-mål, der ikke er nul.

X\subset K

Ikke-arkimediske felter

I et ikke-arkimedisk lokalt felt med absolut værdi kan følgende definitioner gives: $K$ $|{*}|$
- Ring af heltal ${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$
  - Den danner en diskret normeret ring og en kompakt kugle i . $(K,|{*}|)$
- Enheder i ringen af heltal er defineret som . ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$
  - De danner en gruppe og en enhedssfære i . $(K,|{*}|)$
- Det eneste ikke-nul primideal i ringen af heltal er den åbne enhedskugle $\mathfrak{m}$ $\{a\in K:|a|<1\},$

og dets dannende element kaldes det ensartede element .

\omega \in {\mathfrak {m))

K

Det resterende felt er begrænset, fordi det er kompakt og diskret . $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$
I dette tilfælde , hvor er styrken af feltet af residualer . $|\omega |={\tfrac {1}{|k|}}$ $|k|$ $k$

Hvert element, der ikke er nul, kan skrives som , hvor er et identitetselement, er et heltal entydigt bestemt af . $i K$ $a=\omega ^{n}\cdot u$ $u$ $n$ $-en$
- I særdeleshed $|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$

Se også

globale felt