Lokalt trivielt bundt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. juli 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Et lokalt trivielt bundt er et bundt , der lokalt ligner et direkte produkt af .

Definition

Lad , og vær topologiske rum . En surjektiv kontinuerlig kortlægning kaldes et lokalt trivielt bundt af et rum over en base med fiber, hvis der for et hvilket som helst punkt på basen eksisterer et kvarter , over hvilket bundtet er trivielt . Sidstnævnte betyder, at der eksisterer en homeomorfisme , således at diagrammet er kommutativt $E$ $B$ $F$ $\pi \colon E\til B$ $E$ $B$ $F$ $x\i B$ $U\undersæt B$ $\phi \colon \pi ^{{-1}}(U)\til U\gange F$

Her er projektionen af produktet af rum på den første faktor. ${\mathrm {proj_{1}}}:\,U\ gange F\til U$

Rummet kaldes også bundtets samlede rum eller bundtrummet . $E$

Relaterede definitioner

En sektion af et bundt er en kortlægning sådan, at . Generelt set har ikke alle bundter en sektion. Lad f.eks. være en manifold og være et underbundt af enhedslængdevektorer i tangentbundtet . Så er sektionen af bundtet et vektorfelt uden nuller på . Pindsvinekæmningssætningen viser, at et sådant felt ikke eksisterer på en kugle. $s:B\til E$ $\pi \circ s={\mathrm {id}}_{B}$ $M$ $E\ til M$ $TM$ $E$ $M$
Sættet kaldes bundtets fiber over spidsen . Hver fiber er homøomorf i forhold til rummet , så rummet kaldes bundtets generelle (eller model) fiber , $F_{x}=\pi ^{{-1}}\{x\}$ $\pi$ $x\i B$ $F$ $F$ $\pi$
En homøomorfi , der identificerer begrænsningen af et bundt over et område af et punkt med et eller andet trivielt bundt, kaldes den lokale trivialisering af bundtet over et område af et punkt . $\varphi$ $\pi$ $x$ $\pi$ $x$
Hvis er en dækning af basen med åbne sæt, og er de tilsvarende trivialiseringsafbildninger, så kaldes familien det trivialiserende atlas for bundtet . $\{U_{{\alpha }}\}$ $B$ $\varphi _{{\alpha }}:\pi ^{{-1}}(U_{{\alpha }})\til U_{{\alpha }}\ gange F$ $\{(U_{{\alpha )),\varphi _{{\alpha )))\}$ $\pi :E\til B$
Antag, at en lokalt triviel fibrering er forsynet med et basisdæksel med udpræget trivialisering , og at begrænsningen af enhver sammenligningsmapping til en fiber tilhører en eller anden undergruppe af gruppen af alle automorfismer . Så kaldes det et lokalt trivielt bundt med strukturgruppe . $\pi :E\til B$ $\{U_{\alpha }\}$ $B$ $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\ gange F\to \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })$ $\phi _{\alpha }^{{-1}}\circ \phi _{\beta }$ $G$ $F$ $\pi$ $G$

Eksempler

Trivielt bundt, det vil sige projektion på den første faktor. $B\gange F\til B$
Enhver belægning er en lokalt triviel fibrering med en diskret fiber.
Tangent- , cotangens- og tensorbundter over en vilkårlig manifold er lokalt trivielle.
Hvis er en topologisk gruppe , og er dens lukkede undergruppe, og faktoriseringen har lokale sektioner, så er det et fiberbundt ( Steenrod 1951 , §7). $G$ $H$ $\pi :G\to G/H$ $\pi$ $H$
Möbius-strimlen er rummet af en ikke-triviel fibrering over en cirkel.
Hopf-bundtet er et ikke-trivielt bundt . Det har ingen sektioner, da det er et hovedbundt med strukturgruppe , og ethvert hovedbundt, der tillader et afsnit, er trivielt. $S^{3}\til S^{2}=S^{3}/S^{1}$ $U(1)$
Et bundt kan konstrueres ved vilkårligt at angive dets base (mellemrum ), fælles fiber (mellemrum ) og overgangskort (Cech 1-cocycle ) for et åbent dækningsområde . Derefter kan mellemrummet E formelt opnås som et sæt tripler af formen med identifikationsreglen: $B$ $F$ $\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\til {\mathrm {Aut}}\,F\}$ $B$ $\{(\alpha ,x,f_{{\alpha }}):\,x\i U_{{\alpha }}),\,f_{{\alpha }}\i F\}$

(\alpha ,x,f_{{\alpha }})=(\beta ,x,f_{{\beta }})

, hvis

f_{{\beta }}=u_{{\beta \alpha }}f_{{\alpha }}

Egenskaber

For lokalt trivielle bundter gælder den dækkende homotopisætning . Lad — være et lokalt trivielt bundt, kort og , så , og en kortlægningshomotopi ( dvs. ). Så er der en kortlægningshomotopi sådan , at det vil sige, at følgende diagram er kommutativt $\pi :E\til B$ $g\colon M\to B$ $f\colon M\to E$ $g=\pi \circ f$ ${\tilde g}\colon M\ gange [0;1]\til B$ $g$ ${\tilde g}(m,0)=g(m)$ ${\tilde f}\colon M\ gange [0;1]\til E$ $f$ ${\tilde {g}}=\pi \circ {\tilde {f}}$ ${\begin{matrix}M\ gange [0;1]\!&&{\stackrel {{\tilde f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde g}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matrix}}$
Lad der være et lokalt trivielt fiberbundt ( nogle gange skrevet formelt som ). Så er rækkefølgen af homotopigrupper nøjagtig : $E\ til B$ $F$ $F\til E\til B$

\dots \to \pi _{2}(F)\to \pi _{2}(E)\to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\til \pi _{1}(B)\til \pi _{0}(F)

Overgangskortene opfylder Cech 1-cocycle betingelsen :

Hvis , så .

x\in U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\cap U_{{\gamma }}

u_{{\beta \alpha }}(x)=u_{{\beta \gamma }}(x)\circ u_{{\gamma \alpha }}(x)

To bundter over den samme base og med den samme fiber er isomorfe, hvis og kun hvis Cech 1-cocyklerne, der svarer til dem, er kohomologiske. (Bemærk, at i det tilfælde, hvor gruppen er ikke-kommutativ, danner den en-dimensionelle kohomologi ikke en gruppe , men danner et sæt, som gruppen af Cech 0-cochains virker på (til venstre) : ${\mathrm {Aut}}\,F$ $H^{1}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $C^{0}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $u_{{\alpha \beta }}'(x)=f_{{\alpha }}(x)\circ u_{{\alpha \beta }}(x)\circ f_{{\beta }}(x) ^{{-1}}$ ,

hvor virker Cech 0-cochain på Cech 1-cocycle . 1-cocykler siges at være kohomologiske, hvis de ligger i samme kredsløb for denne handling.)

\{f_{{\alpha }}:U_{{\alpha }}\til {\mathrm {Aut}}\,F\}

\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}

For ethvert lokalt trivielt bundt og kontinuerlig kortlægning er det inducerede bundt lokalt trivielt. $\pi :X\til B$ $f:B'\til B$ $f^{*}(\pi)$

Variationer og generaliseringer

Lokalt trivielle bundter er et særtilfælde
- Gurevich bundter og
- Serre fibrationer .

Hvis mellemrummene er glatte (differentierbare) manifolds , er kortlægningen glat og tillader et trivialiserende atlas med glatte trivialiseringsafbildninger, så kaldes selve bundtet et glat bundt . $E,B,F$ $\pi$
Et bundt kaldes holomorf , hvis rummene er komplekse manifolder, kortlægningen er holomorf, og der eksisterer et trivialiserende atlas med holomorfe trivialiseringsafbildninger. $E,B,F$ $\pi$
Hovedbundt .

Se også

Yang-Mills teori

Litteratur

Vasiliev V. A. Introduktion til topologi. - M. : FAZIS, 1997. - 132 s. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0