Lineær kvadratisk controller

Lineær-kvadratisk regulator ( engelsk Linear quadratic regulator, LQR ) - i kontrolteori, en af de typer af optimale regulatorer , der bruger en kvadratisk kvalitetsfunktion. Et problem, hvor det dynamiske system er beskrevet ved lineære differentialligninger , og kvalitetsindekset er en andengradsfunktion , kaldes et lineært-kvadratisk kontrolproblem. Lineær-kvadratiske regulatorer (LQR) og lineære-kvadratiske Gaussiske regulatorer (LQG) er meget udbredt .

Tilfældet med kontinuerlige systemer

For kontinuerlige lineære systemer beskrevet i tilstandsrummet af ligningssystemet

{\dot {x}}=A(t)x+B(t)u

J=\int \limits _{0}^{\infty }\left(x^{T}Q(t)x+u^{T}R(t)u\right)dt,

den negative feedback-kontrollov fundet af LQR-algoritmen skal minimere det specificerede optimalitetskriterium. Denne kontrollov har formen

u=-R^{-1}B^{T}Px,

hvor findes fra løsningen af Riccati-ligningen [1] [2] $P$

A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=-{\dot {P)).

For diskrete lineære systemer beskrevet i tilstandsrummet af ligningssystemet

{\displaystyle x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k))

med optimalitetskriteriet

J=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}\right ),

den negative feedback-kontrollov fundet af LQR-algoritmen skal minimere optimalitetskriteriet

u_{k}=-Fx_{k},

hvor

F={\tilde {R}}^{-1}B^{T}P,

{\tilde {R}}=R+B^{T}PB,

hvor er løsningen af den diskrete Riccati-ligning [3] $P$

P=Q+A^{T}\left(P-PB\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}B^{T}P\right)A.

Quakernaak, H. , Sivan, R. Linear Optimal Control Systems. — M .: Mir , 1977. (Russisk)
Anderson, BDO , Moore, JB . Lineær optimal kontrol. -Prentice Hall, 1971. -ISBN 0135368707.