Krisen i matematikkens grundlag
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. april 2020; checks kræver 5 redigeringer .Krisen i matematikkens grundlag er et begreb, der betegner søgen efter matematikkens grundlæggende grundlag ved begyndelsen af det 19. og 20. århundrede.
Krisens begyndelse
Matematikkens grundlag er lære om matematikkens logiske og filosofiske grundlag, herunder spørgsmålet om, hvorvidt et givent systems aksiomer sikrer dets fuldstændighed og sammenhæng [1] , mens krisen i matematikkens grundlag forstås som ontologiens krise. , hvis essens er manglende evne til at beskrive objekter, hvis kendsgerning eller tilblivelse går ud over de sædvanlige ideer om verden. [2]
Den mængdeteoretiske tilgang, som blev bredt udviklet i slutningen af det 19. århundrede, gjorde det muligt at bygge matematik på et solidt og, som det så ud til, pålideligt fundament - Cantors teori om mængder . Udviklingen af Cantors mængdeteori førte til muligheden for at udtrykke alle de grundlæggende matematiske begreber i form af denne teori. Hilbert beskrev muligheden for at bygge matematik på et set-teoretisk grundlag som et "paradis for matematikere", og han kaldte den del af matematikken, der allerede var bygget på dette grundlag, for "det uendeliges symfoni". Begejstringen blev imidlertid erstattet af en tilstand af chok, da inkonsekvensen af denne tilgang blev opdaget. [3]
Paradokser
Ved overgangen til det 19.-20. århundrede blev mængdelærens såkaldte paradokser opdaget .
Essensen af paradokset ligger i, at det ved hjælp af logisk korrekt ræsonnement er muligt at underbygge (bevise ved hjælp af denne teori) på samme tid et bestemt udsagn og dets negation, det vil sige en modsigelse . Det betyder , at denne teori er inkonsekvent . Ifølge logikkens love i en modstridende teori er "alt beviseligt", det vil sige ethvert udsagn.
Den mest berømte blandt de åbne paradokser modtaget:
Måder at eliminere paradokser på
For at undgå nogle paradokser blev det foreslået at begrænse princippet om foldning - en udbredt matematisk konstruktion, der giver dig mulighed for at danne sæt ved hjælp af visse egenskaber ved objekter.
Skjul princip
Princippet om foldning er, at for enhver ejendom anses et sæt for at eksistere, bestående af dem og kun de objekter, der har egenskaben . Symbolsk kan princippet om foldning skrives som følger:
hvor er et vilkårligt sæt.
Begrænset fold-princip
I det begrænsede fold-princip tilføjes en betingelse til betingelsen, ifølge hvilken elementerne er taget fra et givet sæt , hvis eksistens er afledt af en eller anden ("pålidelig") liste af aksiomer. Det symbolsk begrænsede foldningsprincip kan skrives som følger:
Kritik af eksisterende logiske principper
Men selv den fuldstændige eliminering af de opdagede paradokser redder ikke og sikrer ikke mængdeteorien fra nye paradokser. Derfor var opgaven med at "gemme" matematik stadig relevant. Faktisk stod matematikere over for opgaven med at genoverveje de logiske midler, der blev brugt i matematisk ræsonnement, pålideligheden af disse midler og deres overensstemmelse med matematikkens essens. Den eneste måde at garantere umuligheden af modsigelser i en matematisk teori var at bevise konsistensen af denne teori.
Ikke desto mindre var essensen af krisen ikke begrænset til paradokser, men bestod også i det følgende.
- For det første var der i slutningen af det 19. århundrede betydelige meningsforskelle blandt matematikere om de grundlæggende matematiske begreber og principper, såvel som om de logiske principper, der blev brugt i matematik.
- For det andet var der forskelle i synet på valget af måder at slippe af med paradokser.
- Endelig, og tilsyneladende er dette det vigtigste, var der grundlæggende vanskeligheder med at underbygge matematikkens sammenhæng, dens "frelse", hvoraf mange ikke er overvundet indtil videre.
Kritik af nogle mængdeteoretiske principper
Sideløbende med opdagelsen af paradokser (og uafhængigt heraf) blev en række mængdeteoretiske og logiske principper kritiseret.
Denne kritik var primært rettet mod abstraktionen af den faktiske uendelighed . Et andet set-teoretisk princip, der forårsager megen kontrovers blandt matematikere, er det berømte valgaksiom . Tvisterne omkring valgaksiomet skyldtes på den ene side udsagnets indlysendehed, og på den anden side af ineffektiviteten i at forstå eksistensen af valgsættet, samt af de mærkelige resultater opnået vha. det (se Banach-Tarski-paradokset ). Det er værd at bemærke, at på trods af den åbenlyse modsigelse af sætningens udsagn med hverdagserfaring, er dette udsagn ikke et paradoks i logisk forstand.
Kritik af nogle logiske love i traditionel logik
Hovedobjekterne for kritik var sådanne logiske love som loven om den udelukkede midterste , loven om fjernelse af dobbelt negation og følgelig metoden til at bevise ved modsigelse baseret på den.
Fremkomsten af logiske skoler
Som følge af forskellige syn på brugen af logiske og mængdeteoretiske principper, samt forskellige syn på veje ud af krisen, blev der dannet forskellige matematiske skoler, som modarbejdede hinanden voldsomt.
Den førende skole var den formalistiske , hvis mest fremtrædende tilhænger var David Hilbert . Han samlede sine ideer i det såkaldte Hilbert-program, som skulle retfærdiggøre matematik på et lille logisk grundlag indeholdt i finitisme .
Den største modstander af denne skole var skolen af intuitionister , som nægtede muligheden for at bruge dobbelt negation og anså det for uacceptabelt at acceptere princippet om abstraktion af den faktiske uendelighed. Ledte skolen Leutzen Brouwer . Han afviste frygtløst formalisme som et meningsløst spil med symboler. I 1920 sikrede Hilbert fjernelse af Brouwer, som han anså for en trussel mod matematikken, fra gruppen af redaktører af Mathematische Annalen , datidens førende matematiske tidsskrift.
Gödels ufuldstændighedssætninger , bevist i 1931, viste imidlertid , at nøgleaspekter af Hilberts program ikke kunne opnås.
Gödel viste, hvordan man konstruerer, for ethvert tilstrækkeligt stærkt og konsistent rekursivt aksiomatiserbart system (såsom det er nødvendigt for at aksiomatisere en elementær aritmetikteori på mængden af naturlige tal), en udsagn, for hvilken den kan påvises at være sand, men ikke beviselig af systemet. Dermed blev det klart, at det matematiske grundlag ikke kunne reduceres til et rent formelt system, som foreslået i Hilbert-programmet. Dette gav et knusende slag for Hilbert-programmets hjerte, et program, der antog, at konsistens kunne etableres med finitiske midler.
Samtidig tiltrak den intuitionistiske skole ikke nogen permanent tilslutning blandt aktive matematikere på grund af problemer i konstruktiv matematik .
Konklusion
Uenigheder blandt matematikere om logiske love vidnede om behovet for at studere de logiske midler, der bruges i matematik, og at revidere disse midler. Disse uenigheder bidrog til udviklingen af ideen om logikkens ikke-unikhed som et system af logiske principper, hvilket resulterede i skabelsen af ikke-klassiske logikker . Den vigtigste ikke-klassiske logik er intuitionistisk logik .
Krisen er stadig ikke forbi, men den er forsvundet. De fleste matematikere arbejder enten ikke fra niveauet af aksiomatiske systemer, eller hvis de gør, tvivler de ikke på rigtigheden af ZFC -systemet , det mest populære aksiomatiske system. I de fleste grene af praktisk matematik har matematiske paradokser allerede ikke spillet nogen rolle, og i de afsnit, der er direkte relateret til matematikkens grundlag - især matematisk logik og kategoriteori - kan de omgås.
Se også
Noter
- ↑ Kiryanov Denis Alexandrovich. Problemet med inkommensurabilitet og krisen i grundlaget for oldgræsk matematik // Filosofisk tankegang. - 2021. - Udgave. 9 . — S. 54–65 . — ISSN 2409-8728 . - doi : 10.25136/2409-8728.2021.9.36464 . Arkiveret fra originalen den 25. oktober 2021.
- ↑ Bukin D. N. Krisen i matematikkens grundlag som en ontologikrise (russisk) // Bulletin fra Nizhny Novgorod University. N. I. Lobachevsky .. - 2011. - Nr. 4 . Arkiveret fra originalen den 25. oktober 2021.
- ↑ Nagorny N. M. I stedet for et forord til anden udgave. Side VII-XLIV // Markov A. A., Nagorny N. M. Theory of Algorithms. — M.: Fazis, 1995. — 448 s.
| Logikker | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Filosofi • Semantik • Syntaks • Historie | |||||||||
| Logiske grupper |
| ||||||||
| Komponenter |
| ||||||||
| Liste over booleske symboler | |||||||||