Kontakt nummer

Kontaktnummer (nogle gange svarer Newtons nummer [1] [2] i kemi til koordinationsnummeret [2] ) - det maksimale antal kugler med enhedsradius , der samtidigt kan røre en af den samme kugle i n - dimensionelt euklidisk rum (det antages, at kuglerne ikke trænger ind i hinanden, det vil sige, at rumfanget af skæringsrum mellem to kugler er lig nul).

Det er nødvendigt at skelne kontaktnummeret fra kontaktnummeret på gitteret [3] - en lignende parameter for den tætteste regelmæssige pakning af bolde . Beregningen af kontaktnummeret i det generelle tilfælde er stadig et uløst matematisk problem .

Historie

I det endimensionelle tilfælde kan ikke mere end to segmenter af enhedslængde røre det samme segment:

I det todimensionelle tilfælde kan problemet tolkes som at finde det maksimale antal mønter, der berører den centrale. Figuren viser, at du kan placere op til 6 mønter:

Det betyder, at . På den anden side afskærer hver tangentcirkel en bue på 60° på den centrale cirkel, og disse buer skærer ikke hinanden, så . Det kan ses, at estimaterne fra oven og nede i dette tilfælde er sammenfaldende og . $N(2)\geqslant 6$ $N(2)\leqslant 360/60=6$ $N(2)=6$

I det tredimensionelle tilfælde taler vi om bolde. Her er det også nemt at konstruere et eksempel med 12 bolde, der rører ved den centrale - de er placeret i hjørnerne af icosahedron - derfor . Denne nedre grænse var allerede kendt af Newton . $N(3)\geqslant 12$

Dette arrangement er løst, der vil være ret mærkbare huller mellem kuglerne. Skønnet fra oven blev årsagen til den velkendte strid mellem Newton og D. Gregory i 1694. Newton hævdede det , og Gregory indvendte, at det kunne være muligt at arrangere 13 bolde. Han udførte beregninger og fandt ud af, at arealet af den centrale bold er mere end 14 gange arealet af projektionen af hver af de rørende bolde, så . Hvis du tillader at ændre kuglernes radier med 2%, så er det muligt at læne op til 14 kugler. $N(3)=12$ $N(3)\leqslant 14$

Først i 1953, i en artikel af Schütte og van der Waerden [4] , blev det endelig fastslået, at Newton havde ret, på trods af manglen på et strengt bevis.

I det firedimensionelle tilfælde er det ret svært at forestille sig bolde. Placeringen af 24 firedimensionelle kugler omkring den centrale har været kendt i lang tid , den er lige så regulær som i det todimensionelle tilfælde og løser samtidig kontaktnummerproblemet på gitteret. Dette er den samme placering som heltalskvaternioner .

Denne ordning blev udtrykkeligt angivet i 1900 af Gosset [5] . Endnu tidligere blev det fundet (i et tilsvarende problem) i 1872 af russiske matematikere Korkin og Zolotarev [6] [7] . Denne placering gav en vurdering nedefra . $N(4)\geqslant 24$

Forsøg på at estimere dette tal fra oven førte til udviklingen af subtile metoder til funktionsteori, men gav ikke et nøjagtigt resultat. Først lykkedes det os at bevise det , så lykkedes det os at reducere den øvre grænse til . Endelig, i 2003, lykkedes det den russiske matematiker Oleg Musin at bevise, at [8] . $N(4)\leqslant 26$ $N(4)\leqslant 25$ $N(4)=24$

I dimension 8 og 24 blev der opnået et nøjagtigt skøn i 1970'erne [9] [10] . Beviset er baseret på ligheden mellem kontaktnummeret og kontaktnummeret på gitteret i disse dimensioner: E8-gitteret (for dimension 8) og Leach-gitteret (for dimension 24).

Kendte værdier og estimater

På nuværende tidspunkt er de nøjagtige værdier af kontaktnumrene kun kendt for , men også for og . For nogle andre værdier er øvre og nedre grænser kendt. $n\leq 4$ $n=8$ $n=24$

Dimension	Bundlinie	Øvre grænse
en	2
2	6
3	12
fire	24 [8]
5	40	44 [11]
6	72	78 [11]
7	126	134 [11]
otte	240
9	306	364 [11]
ti	500	554
elleve	582	870
12	840	1 357
13	1154 [12]	2069
fjorten	1606 [12]	3 183
femten	2564	4 866
16	4 320	7 355
17	5 346	11 072
atten	7 398	16 572 [11]
19	10 688	24 812 [11]
tyve	17 400	36 764 [11]
21	27 720	54 584 [11]
22	49 896	82 340
23	93 150	124 416
24	196 560

Ansøgninger

Problemet har praktisk anvendelse i kodningsteori. I 1948 udgav Claude Shannon et informationsteoripapir, der viser muligheden for fejlfri datatransmission i støjende kommunikationskanaler ved hjælp af pakningskoordinaterne for enhedskugler i n-dimensionelt rum. Se også Hamming distance .

Se også

Noter

↑ Yaglom, I. M. The thirteen-ball problem . - Kiev: Vishcha-skolen, 1975. - 84 s.
↑ 1 2 J. Conway, N. Sloan. Pakninger af kugler, gitter og grupper . - M . : Mir, 1990. - T. 1. - 415 s. — ISBN 5-03-002368-2 . Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 29. maj 2011. Arkiveret fra originalen 6. oktober 2014. (ubestemt)
↑ Netkontaktnumre : OEIS -sekvens A001116
↑ Schütte, K. og van der Waerden, BL Das Problem der dreizehn Kugeln (ubestemt) // Math. Ann. . - 1953. - T. 125 , nr. 1 . - S. 325-334 . - doi : 10.1007/BF01343127 .
↑ Gosset, Thorold. På de regulære og semi-regulære figurer i rummet af n dimensioner // Messenger of Mathematics : journal. - 1900. - Bd. 29 . - S. 43-48 .
↑ Korkine A., Zolotareff G. Sur les formesatiques positives quaternaires (neopr.) // Math. Ann. . - 1872. - V. 5 , nr. 4 . - S. 581-583 . - doi : 10.1007/BF01442912 . Rus. oversættelse: Zolotarev E. I. Fuld. saml. op. - L . : Forlag for Videnskabsakademiet i USSR, 1931. - S. 66-68.
↑ N. N. Andreev, V. A. Yudin. Arfimetisk minimum af andengradsform og sfæriske koder // Matematisk uddannelse . - 1998. - Nr. 2 . - S. 133-140 .
↑ 1 2 Musin O. R. Problemet med femogtyve sfærer // Fremskridt i matematiske videnskaber . - Russian Academy of Sciences , 2003. - T. 58 , nr. 4 (352) . - S. 153-154 . (Russisk)
↑ Levenshtein V. I. Om grænser for pakninger i n -dimensionelt euklidisk rum // DAN SSSR. - 1979. - T. 245 . - S. 1299-1303 .
↑ A.M. Odlyzko, NJA Sloane. Nye grænser for antallet af enhedskugler, der kan røre en enhedskugle i n dimensioner // J. Kombiner. Teori Ser. A : dagbog. - 1979. - Bd. 26 . - S. 210-214 . - doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Hans D. Mittelmann og Frank Vallentin. [ http://arxiv.org/abs/0902.1105 Semidefinite programmeringsgrænser med høj nøjagtighed for kyssetal] // Eksperimentel matematik. - 2010. - T. 19 , nr. 2 . - S. 174-178 .
↑ 1 2 V. A. Zinoviev, T. Erickson. Nye nedre grænser for kontaktnummeret for små dimensioner // Probl. videregivelse af information .. - 1999. - T. 35 , nr. 4 . - S. 3-11 .