Kompaktificering

Kompaktificering er en operation, der omdanner topologiske rum til kompakte rum .

Definition

Formelt defineres komprimeringen af et rum som et par , hvor er kompakt, en indlejring sådan, der er tæt i . $x$ $(Y,\;f)$ $Y$ $f:X \til Y$ $f(X)$ $Y$

Eksempler

Det virkelige projektive plan er en af komprimeringerne af det euklidiske plan . Dens anden (enkeltpunkts) kopaktificering er homøomorf til en sfære.

Et-punkts komprimering

Etpunktskomprimeringen (eller Alexandrov - komprimeringen ) er arrangeret som følger. Lad og åbne sæt i er alle åbne sæt , såvel som sæt af formen , hvor har et lukket og kompakt (i ) komplement. tages som en naturlig indlejring i . så er komprimeringen Hausdorff hvis og kun hvis den er Hausdorff og lokalt kompakt . $Y=X \kop \{\infty\}$ $Y$ $x$ $O \kop \{\infty\}$ $O\subseteq X$ $x$ $f$ $x$ $Y$ $(Y,\;f)$ $Y$ $x$

Eksempler

$\R \kop \{\infty\}$ med topologien konstrueret som ovenfor er et kompakt rum. Det er let at bevise, at hvis to rum er homøomorfe, så er de tilsvarende etpunktskomprimeringer også homøomorfe.
- Især da en cirkel i planet uden et punkt er homøomorf til c (et eksempel på en homøomorfisme er en stereografisk projektion ), er hele cirklen homøomorf til c . $\mathbb {R}$ $\R \kop \{\infty\}$
- Tilsvarende, homeomorphic - dimensional sfære . $\mathbb R^n \cup \{\infty\}$ $n$

Stone-Cech komprimering

Ved komprimeringer af nogle faste rum kan man indføre en delbestilling . Lad for to komprimeringer , , hvis der eksisterer en kontinuerlig kortlægning sådan, at . Det maksimale (op til en homeomorfisme ) element i denne rækkefølge kaldes Stone-Cech komprimeringen [1] og betegnes med . For at et rum skal have en Stone-Cech-komprimering, der opfylder Hausdorff - separationsaksiomet , er det nødvendigt og tilstrækkeligt , at det opfylder separationsaksiomet , det vil sige, at det er helt regulært . $x$ $f_1 \leqslant f_2$ $f_1: X\til Y_1$ $f_2: X\til Y_2$ $g: Y_2 \til Y_1$ $g f_2 = f_1$ $\beta X$ $x$ $x$ $T_{3\frac{1}{2}}$

Noter

↑ Også "Stonechech-komprimering" og "Chechstone-komprimering".