Kategori af topologiske rum

Kategorien af ​​topologiske rum  er en kategori, hvis objekter er topologiske rum , og morfismer er kontinuerlige kortlægninger , hovedobjektet for undersøgelse af kategoritopologi . Standardnotationen er . Det er en specifik kategori , så dens objekter kan forstås som sæt med yderligere struktur.

En naturlig glemmefunktion , der forbinder et topologisk rum med dets støttesæt: . Denne funktion har både en venstre adjoint , som forsyner sættet med den diskrete topologi , og en højre adjoint , som forsyner sættet med den antidiskrete topologi . Desuden, da enhver funktion mellem diskrete eller antidiskrete rum er kontinuerlig, definerer begge disse funktioner en komplet indlejring af kategorien af ​​sæt i .

Det er komplet og cocomplete , det vil sige, at alle små grænser og colimits findes i det . Oblivious functor: hæver grænserne på en unik måde og holder dem også. For at opnå grænser (colimits) i er det derfor tilstrækkeligt at levere grænserne (colimits) i med den nødvendige topologi : hvis  er et diagram i og  er en diagramgrænse i , så kan den tilsvarende grænse (colimit) i opnås ved at levere den indledende topologi ( endelig topologi ).

Monomorfismer i  er kontinuerlige injektiv kortlægninger; epimorfismer  er kontinuerlige surjektive kortlægninger, og isomorfier er homeomorfismer . Der er ingen nulmorfismer i, især denne kategori er ikke præadditiv .

Det er ikke kartesisk lukket , fordi ikke alle dets objekter har eksponentialer .

Litteratur

• Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen  (tysk) . - 1968. - (Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 78).
• Kategorisk topologi 1971-1981 (H. Herrlich) // Generel topologi og dens relationer til moderne analyse og algebra 5  (engelsk) . - Heldermann Verlag, 1983. - S. 279-383.
• Kategorisk topologi - dens oprindelse, som eksemplificeret ved udfoldelsen af ​​teorien om topologiske refleksioner og kernereflektioner før 1971; Kategorisk topologi 1971-1981 (H. Herrlich, GE Strecker) // Handbook of the History of General Topology / eds. CEAull, R. Lowen. — Kluwer Acad. Publ., 1997. - T. 1. - S. 255-341.
• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst og Strecker, George E. Abstrakte og konkrete kategorier . — John Wiley & sønner. - ISBN 0-471-60922-6 .
• McLane S. Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .