Nul morfisme

I kategoriteori er en nulmorfisme  en morfisme , der generaliserer egenskaberne ved lineære afbildninger til nul .

Definition

Lad C  være en kategori og f  : X → Y  en morfisme i C . f kaldes en konstant morfisme, hvis for et hvilket som helst objekt W i C og enhver g , h  : W → X , fg = fh . Følgelig kaldes f en kokonstant morfisme , hvis for ethvert objekt Z og et hvilket som helst g , h ∈ Mor C ( Y , Z ), gf = hf . En nulmorfisme  er en morfisme, der er både konstant og ko-konstant.

En kategori med nulmorfismer  er en kategori, hvor for to objekter A og B en morfisme 0 AB  : A → B er fastsat således, at for alle objekter X , Y , Z i C og enhver morfismer f  : Y → Z , g  : X → Y følgende diagram er kommutativt:

Så er morfismerne 0 XY nødvendigvis nul. Hvis C  er en kategori med nul morfismer, er 0 XY entydigt bestemt.

Eksempler

• I kategorien af ​​grupper (eller moduler ) er nulmorfismen homomorfien f  : G → H , der kortlægger alle elementer i G til det neutrale element i H . null-objektet i kategorien af ​​grupper er den trivielle gruppe 1 = {1}. Hver nulmorfisme fejer gennem 1 , det vil sige f  : G → 1 → H .

• Mere generelt, lad C  være en kategori med null-objekt 0 . Så for to objekter X og Y er der en unik sekvens af morfismer

• Hvis C  er en præadditiv kategori , så er hvert sæt af morfismer sæt Mor( X , Y ) en abelsk gruppe og har et nul-element. Disse nul-elementer danner en familie af nul-morfismer, hvilket gør C til en kategori med nul-morfismer.

• Kategorien af ​​mængder har ikke et nulobjekt, men har et initialobjekt , det tomme sæt ∅. De eneste kokonstante funktioner i sæt  er funktioner af formen ∅ → X .

Litteratur

• Afsnit 1.7 i Pareigis, Bodø. Kategorier og  funktioner (neopr.) . - Academic Press , 1970. - V. 39. - (Ren og anvendt matematik). — ISBN 978-0-12-545150-5 .
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. Kategoriteori  (ubestemt) . — Allen og Bacon, Inc. Boston, 1973. .