Eksponentiel

Eksponentialet er en kategoriteoretisk analog til mængden af funktioner i mængdelære . Kategorier, hvor der findes endelige grænser og eksponentialer, kaldes kartesisk lukket .

Definition

Lad der være binære produkter i kategorien . Derefter kan eksponentialet defineres som en universel morfisme fra en funktor til . (Funktøren fra til kortlægger et objekt til og morfismer til ). $C$ $Z^{Y}$ $[-]\ gange Y$ $Z$ $[-]\ gange Y$ $C$ $C$ $x$ $X \ gange Y$ $\varphi$ $\varphi \times \mathrm {id} _{Y}$

Mere eksplicit, den eksponentielle af objekter og er sådan et objekt, sammen med en morfisme kaldet evalueringskortet , at der for enhver genstand og morfisme er en unik morfisme , for hvilken følgende diagram er kommutativ: $Z^{Y}$ $Z$ $Y$ $eval\colon Z^{Y}\ gange Y\to Z$ $x$ $g\kolon X\ gange Y\ til Z$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$

Hvis den eksponentielle findes for all in , så er den funktion, der sender til , den rigtige dual af . I dette tilfælde er der en naturlig bijektion: $Z^{Y}$ $Z$ $C$ $Z$ $Z^{Y}$ $[-]\ gange Y$

\mathrm {Hom} (X\ gange Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})

Eksempler

I kategorien mængder er en eksponentiel mængden af alle funktioner fra til ( kardinalpotens ). For enhver kortlægning er kortlægningen den karrede form : $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $g\kolon (X\ gange Y)\højrepil Z$ $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ $g$

\lambda g(x)(y)=g(x,y)

I kategorien topologiske rum eksisterer en eksponentiel , hvis er et lokalt kompakt Hausdorff-rum . I dette tilfælde er sættet af kontinuerlige funktioner fra til med kompakt-åben topologi . Hvis det ikke er et lokalt kompakt Hausdorff-rum, eksisterer det eksponentielle muligvis ikke (rummet vil eksistere, men kortlægningen er muligvis ikke længere kontinuerlig). Af denne grund er kategorien af topologiske rum ikke kartesisk lukket . $Z^{Y}$ $Y$ $Z^{Y}$ $Y$ $Z$ $Y$ $Z^{Y}$ $\lambda$

Litteratur

Goldblatt R. Topoi. Kategorisk analyse af logik = Topoi. Den kategoriale analyse af logik / Pr. fra engelsk. V. N. Grishin og V. V. Shokurov, red. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
McLane S. Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George Strecker. Abstrakte og konkrete kategorier (Glæden ved katte ) . — John Wiley & Sons , 2006.