Tangent rum af Zariski

Zariski-tangensrummet er en konstruktion i algebraisk geometri , der giver dig mulighed for at konstruere et tangentrum i et punkt i en algebraisk variant . Denne konstruktion bruger ikke metoderne til differentialgeometri , men kun metoderne til generel , og i mere specifikke situationer, lineær algebra .

Motivation

Overvej en plan algebraisk kurve givet af polynomialligningen

F(x,y)=0.

Lad os beskrive tangentrummet til denne kurve ved origo. Vi fjerner fra ligningen alle ordensbetingelser større end den første, ligningen forbliver

ax+by=0.

To tilfælde er mulige: enten , i hvilket tilfælde tangentrummet er defineret som hele affinplanet (alle dets punkter opfylder ligningen ovenfor), i hvilket tilfælde oprindelsen er et enkelt punkt på kurven. Ellers er tangentrummet en linje, der behandles som et endimensionelt affint rum. (Mere præcist er der ingen origo i det oprindelige affine plan. Men når man definerer tangentrummet i punktet p , er det naturligt at vælge origo på dette punkt.) $a=b=0$

Definition

Det cotangente rum af en lokal ring med maksimal ideal m er defineret som $R$

{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}

hvor m 2 er produktet af idealer . Cotangensrummet er vektorrummet over restfeltet . Vektorrummet dobbelt dertil kaldes tangentrummet R [1] . $k=R/{\mathfrak {m))$

Denne definition generaliserer ovenstående eksempel til højere dimensioner. Groft sagt er ringen af funktionskimer i punktet p . Denne ring er lokal, og dens maksimale ideal er kimen til funktioner lig med nul i p (det maksimale ideal for en lokal ring består nøjagtigt af irreversible elementer). Da punktet p hører til mangfoldigheden, er vi kun interesserede i elementerne m , faktorisering med m 2 svarer til elimineringen af led af store potenser. Siden vi startede med en ring af funktioner, svarer til "lineære funktionaler" på tangentrummet, det vil sige rummet dual til tangenten. $R$ ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

Tangentrummet og cotangensrummet til skemaet X i punktet P er (co)tangensrummet for den lokale ring . På grund af funktionaliteten af Spec inducerer det naturlige faktoriseringskort en homomorfi , hvor X =Spec( R ), P er punktet for Y =Spec( R/I ). Denne homomorfi bruges ofte til indlejring i [2] (f.eks. er tangentrummet for en manifold indlejret i et affint rum naturligt indlejret i tangentrummet af et affint rum). Da feltmorfismer er injektive , er surjektion af restfelter induceret af g en isomorfi . Således inducerer g en morfisme af k tangentrum, da $T_{P}(X)$ $T_{P}^{*}(X)$ ${\mathcal {O}}_{X,P}$ $f:R\rightarrow R/I$ $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$ $T_{P}(Y)$ $T_{f^{-1}P}(X)$

{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2} +I)/I)

\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)

\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm { Ker}(k).

Da k er surjektiv (er en faktoriseringshomomorfi), er den dobbelte lineære kortlægning injektiv (er en indlejring). $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$

Analytisk case

Hvis V er en undermanifold af et n -dimensionelt vektorrum defineret af idealet I (idealet af funktioner lig med nul på denne manifold), svarer ringen R til ringen F n / I , hvor F n er ringen af kim af glatte/analytiske/holomorfe funktioner på vektorrummet, er jeg kim til funktioner fra idealet. Så er Zariski-tangensrummet i punktet x

{\mathfrak {m}}_{x}/(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}),

hvor er idealet for funktioner af den tilsvarende type, lig med nul i punktet x . ${\mathfrak {m}}_{x}$

I det algebraiske kurveeksempel, , og $I=(f)$ $(I+{\mathfrak {m}}_{x}^{2})=(ax+by+{\mathfrak {m}}_{x}^{2}).$

Egenskaber

Hvis R er en noethersk lokal ring, så er dimensionen af tangentrummet ikke mindre end dimensionen af R :

\mathrm {dim} \;{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\geqslant \mathrm {dim} \;R.

R kaldes en regulær ring, hvis ligheden holder. Hvis den lokale ring af en sort V er regulær i et punkt x , så siges x at være et regulært punkt i sorten. Ellers kaldes x et entalspunkt .

Der er en fortolkning af tangentrummet ved hjælp af homomorfier ind i ringen af dobbelttal I skemasproget svarer morfismer fra Spec k[t]/t 2 til et skema X over k til at vælge et rationelt punkt x ∈ X (k) (punkter med koordinater fra feltet k ) og et element tangentrum i punktet x [3] . Derfor giver det mening at kalde disse morfismer for tangentvektorer . $k[t]/(t^{2}).$

Noter

↑ Eisenbud, 1998 , I.2.2, s. 26.
↑ Smoothness and the Zariski Tangent Space , James McKernan, 18.726 Forår 2011 Arkiveret 19. februar 2018 på Wayback Machine Lecture 5
↑ Hartshorne, 1977 , øvelse II 2.8.

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M.: Mir, 1981.
David Eisenbud; Joe Harris (1998). Skemas geometri. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5 .
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157