Injektiv objekt

Et injektivobjekt er en kategoriteoretisk generalisering af begrebet et injektivt modul . Det dobbelte koncept er et projektivt objekt .

Definition

Et kategoriobjekt kaldes injektiv , hvis der for enhver morfisme og enhver monomorfi eksisterer en udvidende morfisme , dvs. $Q$ $C$ $f:A\to Q$ $h:A\to B$ $g:B\to Q$ $f$ $g\circ h=f$

Abelian case

Den oprindelige definition af et injektivobjekt blev givet for Abelian-tilfældet (og det er fortsat det vigtigste). Hvis er en abelsk kategori , så kaldes dens objekt injektiv , hvis og kun hvis funktoren Hom er nøjagtig . $C$ $Q$ $\mathrm {Hom} _{C}(-,Q)$

En hel del injektive objekter

En kategori siges at have nok injektivobjekter, hvis der for et hvilket som helst objekt i kategorien eksisterer en monomorfi til et injektivobjekt . $C$ $x$ $C$ $f:X\to Q$ $Q$

Injektiv shell

En kategori monomorfi kaldes væsentlig , hvis sammensætningen for enhver morfisme kun er en monomorfi, hvis den er en monomorfi. $g$ $C$ $f$ $f\circ g$ $f$

Hvis er en væsentlig monomorfi, og objektet er injektiv, så kaldes det en injektiv konvolut . Det injicerende skrog er unikt op til ikke-kanonisk isomorfi. $f:X\to G$ $G$ $G$ $x$

Generalisering

Lad være en kategori — Klassen af morfismer y . $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $\mathfrak{C}$

Et kategoriobjekt kaldes -injektiv , hvis der for en hvilken som helst morfisme og hver morfisme fra klassen eksisterer en morfisme for hvilken . $Q$ $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $f:\to Q$ $h:\to B$ ${\mathcal {H}}$ $g:B\to Q$ $g\circ h=f$

Hvis er en monomorfi klasse , så får vi definitionen af injektiv moduler. ${\mathcal {H}}$

En kategori har en del -injektivobjekter, hvis der for hvert objekt X i kategorien er en -morfi fra X til et -injektivobjekt. $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Eksempler

I kategorien abelske grupper er injektivobjekter delelige grupper .

I kategorien af moduler er injektive objekter injektiviske moduler . Der er injektionsskaller i B, og som et resultat er der en del injektivobjekter. $R-\mathrm {Mod}$ $R-\mathrm {Mod}$

I kategorien metriske rum og korte kortlægninger er injektivobjekter med hensyn til ekstreme monomorfismer injektive metriske rum .

Injektive objekter betragtes også i mere generelle kategorier, for eksempel i kategorierne af funktionselementer eller i kategorierne af moduler .

${\mathcal {H}}$ En -morfisme g into siges at være -essentiel , hvis sammensætningen fg for enhver morfisme f kun hører til klassen , hvis f hører til klassen . $\mathfrak{C}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Hvis g er en -essentiel morfisme fra X til et -injektivt objekt G , så kaldes G det H- injektiviske skrog af X . ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Litteratur

Jiri Rosicky . Injektivitet og tilgængelige kategorier.
Charles A. Weibel. En introduktion til homologisk algebra. - Cambridge University Press, 1994.