Lukket operatør

I funktionel analyse er lukkede operatører en vigtig klasse af ubegrænsede operatører , meget bredere end klassen af begrænsede , dvs. kontinuerlige, operatører. En lukket operatør behøver ikke at være defineret på hele rummet. Lukkede operatører har nok gode egenskaber til at kunne introducere deres spektrum , konstruere en funktionel calculus og (i særlige tilfælde) en komplet spektralteori. Et vigtigt eksempel på lukkede operatører er derivatet og mange differentielle operatører .

Lade være en lineær operator mellem Banach rum defineret på nogle lineære underrum i . Den kaldes lukket [1], hvis dens graf er lukket i , det vil sige for enhver sekvens, hvis det er sandt, at og , derefter og . $A\colon D(A)\subset X\to Y$ $D(A)$ $x$ $X \ gange Y$ $x_{n}\in D(A)$ $x_{n}\to x\in X$ $A(x_{n})\to y\in Y$ $x\in D(A)$ $A(x)=y$

Begrebet en lukket lineær operator er en generalisering af begrebet en lineær kontinuerlig operator: hver lineær kontinuerlig operator er lukket.

Egenskaber for en lukket lineær operator

Hvis en lukket operatør er inverterbar, så er den lukket. Som en konsekvens heraf har enhver reversibel lineær kontinuerlig operator en lukket invers operator. $EN$ $A^{{-1}}$
Hvis er en lukket lineær operator defineret overalt i et Banach-rum med værdier i rummet , og der eksisterer en positiv konstant , således at for enhver af de overalt tætte mængder , så er operatoren afgrænset. $EN$ $x$ $Y$ $c$ $\|Ax\|\leq c\|x\|$ $x$ $EN$
Banachs lukkede grafsætning . Hvis en lukket operatører defineret på alt, så er den afgrænset. $A:X\to Y$ $x$
Hvis er en lukket operatør, er et rum med et mål, og funktionerne er stærkt målbare , så (ligheden mellem Bochner-integralerne ). $A\colon X\to Y$ $(E,{\mathcal {B)),\mu )$ $x\colon E\to X$ $Axe\colon E\to Y$ $A\int x(t)\mathrm {d} \mu (t)=\int Ax(t)\mathrm {d} \mu$

Eksempler på lukkede, men ubegrænsede operatorer

I eksemplerne er og rum af funktioner, der er kontinuerte og afgrænsede henholdsvis på et segment og en stråle $C[0,1]$ $C_{0}[0,\infty )$ $[0,1]$ $[0,\infty)$

Differentieringsoperator , med domæne- , med værdier i . ${\frac {d}{dt}}:C[0,1]\to C[0,1]$ $C^{1}[0,1]$ $C[0,1]$

Koordinat multiplikationsoperator $A:C_{0}[0,\infty )\to C_{0}[0,\infty )$

A(x)=tx(t)

. Operatørens domæne består af funktioner, der opfylder uligheden , hvor afhænger af .

EN

|x(t)|\leq {\frac {c}{1+t))

c

x(t)

Noter

↑ Yoshida K. Funktionel analyse. - M .: Mir, 1967. - S. 114.

Litteratur

Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Funktionsanalyse og dens anvendelser i kontinuummekanik. - M . : Vuzovskaya bog, 2000 . - 320 sek.
Trenogin V. A. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.