Glemsom funktionær

En glemmefunktion ( en slettefunktion ) er en kategoriteoretisk funktion , der "glemmer" nogle eller alle de algebraiske strukturer og egenskaber i det oprindelige domæne, det vil sige, at den oversætter domæner udstyret med yderligere strukturer og egenskaber til codomæner med færre begrænsninger.

Begrebet har ikke en streng definition og bruges til kvalitativt at karakterisere de transformationer, der produceres af sådanne funktioner. For en algebraisk struktur med et givet sæt af operationer kan disse transformationer beskrives som signaturreduktion , for eksempel er en glemmefunktion en, der forbinder hver ring fra kategorien ringe ${\mathbf {Rng}}$ med dens additive Abelian-gruppe fra kategorien ${\mathbf {Ab))$ og tager ringhomomorfismer til gruppehomomorfier . Signaturen kan blive tom, det vil sige, at bærersættet af den oprindelige struktur viser sig at være codomænet for en sådan funktion; et eksempel på en sådan funktion er transformationen af grupper fra kategorien af grupper ${\mathbf {Grp}}$ til sæt af deres elementer fra kategori ${\mathbf {Sæt}}$ , som transformerer homomorfier til "almindelige" kortlægninger af mængder. Fordi mange konstruktioner i matematik beskrives som mængder med yderligere struktur, er glemmefunktionen i et bærersæt det mest almindelige eksempel i praksis; muligheden for at konstruere en glemsom funktion i kategorien af mængder ligger til grund for den vigtige forestilling om en konkret kategori . Derudover kan en glemsom funktor bevare strukturer, men samtidig reducere restriktioner på egenskaber .

Eksempel

Som et eksempel kan vi nævne flere glemsomme funktorer fra kategorien kommutative ringe. En kommutativ ring beskrevet i den universelle algebras sprog er en mængde < R , +, *, a , 0, 1 > der opfylder visse aksiomer; her er + og * binære operationer på mængden R , a er en unær operation (at tage det modsatte element ved addition), 0 og 1 er nuloperationer for at tage identiske elementer ved addition og multiplikation. Fjernelse af enheden svarer til en glemsom funktion i kategorien ringe uden enhed; fjernelse af * og 1 svarer til en funktion i kategorien abelske grupper , som forbinder hver ring med sin gruppe ved addition. Desuden er hver morfisme af ringe forbundet med den samme funktion , kun betragtet som en morfisme af abelske grupper. Fjernelse af hele signaturen svarer til en funktion i kategorien sæt.

Sletning af struktur og egenskaber

Der er visse forskelle mellem de funktioner, der "glemmer struktur" og dem, der "kun glemmer egenskaber". Hvis functors og "slette" operationer, så som et eksempel på en functor, der mister egenskaber, kan vi give en transformation fra kategorien af Abelske grupper til kategorien af grupper , som mister aksiomet for kommutativitet af multiplikation, men bevarer alle operationer. ${\mathbf {Rng}}\to {\mathbf {Ab}}$ ${\mathbf {Grp}}\to {\mathbf {Set}}$

Glemsomme funktioner er næsten altid univalente . For eksempel er konkrete kategorier defineret som kategorier, der optager en univalent funktor til kategorien af mængder. Funktioner, der glemmer aksiomer , vil altid være fuldstændig univalente .

Venstre adjoint funktion

Glemsomme funktorer har ofte forladt konjugerede funktorer , der konstruerer frie objekter . For eksempel:

frit modul : en glemmefunktion fra (kategori -moduler ) til har en venstre adjoint svarende til afbildningen af sættet til et frit -modul med basis ; ${\mathbf {Mod}}(R)$ $R$ ${\mathbf {Sæt}}$ $\operatørnavn {Gratis}_{R}$ $X\mapsto \operatørnavn {Gratis}_{R}(X)$ $x$ $R$ $x$
fri gruppe ;
tensor algebra .

I dette tilfælde fortolkes konjugationen som følger: tager man et sæt X og et objekt bygget på det (for eksempel et modul M ), svarer afbildningerne af sættene entydigt til afbildningerne af modulerne . I tilfælde af vektorrum siges dette normalt sådan: "kortlægningen er givet af billederne af basisvektorerne, og basisvektorerne kan sendes overalt", dette faktum er udtrykt ved formlen: $X\ til M$ $\operatørnavn {Gratis}_{R}(X)\til M$

\operatørnavn {Hom}_{{{\mathbf {Mod}}_{R}}}(\operatørnavn {Gratis}_{R}(X),M)=\operatørnavn {Hom}_{{{\mathbf { Indstil}}}}(X,\operatørnavn {Glem}(M))

Kategorien af felter er et eksempel på en kategori, hvor den glemsomme funktion ikke har nogen adjoint: der er intet felt, der opfylder den frie universelle egenskab for mængden X .

Litteratur

McLane, Saunders . Kategorier for den arbejdende matematiker = Kategorier for den arbejdende matematiker. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 25. - 352 s. — ISBN 5-9921-0400-4 .