Statistik nok

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

En tilstrækkelig statistik for en parameter, der definerer en bestemt familie af sandsynlighedsfordelinger, er en statistik sådan, at den betingede sandsynlighed for stikprøven for en given værdi ikke afhænger af parameteren. Det vil sige, at ligheden er sand: $\theta \i \Theta ,\;$ $F_{\theta }$ $T=\mathrm {T} (X)\;$ $X=X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\;$ ${\mathrm {T}}(X)\;$ $\theta\;.$

\mathbb {P} (X\i {\bar {X}}|\mathrm {T} (X)=t,\theta )=\mathbb {P} (X\i {\bar {X} }|\mathrm {T} (X)=t),

En tilstrækkelig statistik indeholder således al den information om parameteren , der kan fås fra stikprøven X . Derfor er begrebet tilstrækkelig statistik meget udbredt i parameterestimeringsteori . ${\mathrm {T}}(X),\;$ $\theta\;$

Den enkleste tilstrækkelige statistik er selve stikprøven , men det, der er virkelig vigtigt, er de tilfælde, hvor dimensionen af den tilstrækkelige statistik er meget mindre end dimensionen af stikprøven, især når den tilstrækkelige statistik kun udtrykkes med nogle få tal. $\mathrm {T} (X)=X\;$

En tilstrækkelig statistik siges at være minimal nok, hvis der for hver tilstrækkelig statistik T eksisterer en ikke-tilfældig målbar funktion g , som er næsten overalt . $S={\mathrm {S}}(X)\;$ $S(X)=g(T(X))$

Faktoriseringssætning

Faktoriseringssætningen giver en praktisk måde at finde tilstrækkelig statistik til en sandsynlighedsfordeling. Det giver tilstrækkelige og nødvendige betingelser for statistikkens tilstrækkelighed, og påstanden om sætninger bruges nogle gange som en definition.

Lad være nogle statistikker, og være en betinget tæthedsfunktion eller en sandsynlighedsfunktion (afhængigt af typen af fordeling) for observationsvektoren X . Så er en tilstrækkelig statistik for parameteren, hvis og kun hvis der er sådanne målbare funktioner, og at vi kan skrive: ${\mathrm {T}}(X)\;$ $f_{\theta }(x)$ ${\mathrm {T}}(X)\;$ $\theta \in \Theta \;$ $h$ $g$

f_{\theta }(x)=h(x)\,g(\theta ,\mathrm {T} (x))

Bevis

Nedenfor er beviset for det særlige tilfælde, hvor sandsynlighedsfordelingen er diskret . Derefter — Sandsynlighedsfunktion . $f_{\theta }(x)={\mathbb {P}}(X=x|\theta )$

Lad den givne funktion have en faktorisering, som i sætningens udsagn, og ${\mathrm {T}}(x)=t.$

Så har vi:

{\begin{aligned}{\mathbb {P}}(X=x|{\mathrm {T}}(X)=t,\theta )&={\frac {{\mathbb {P}}(X= x|\theta )}{{\mathbb {P}}({\mathrm {T}}(X)=t|\theta )))&={\frac {h(x)\,g(\theta , {\mathrm {T}}(x))}{\sum _{{x:{\mathrm {T}}(x)=t}}h(x)\,g(\theta ,{\mathrm {T }}(x)))}\\&={\frac {h(x)\,g(\theta ,t)}{\sum _{{x:{\mathrm {T}}(x)=t }}h(x)\,g(\theta ,t)}}&={\frac {h(x)\,}{\sum _{{x:{\mathrm {T}}(x)=t }}h(x)\,}}.\end{aligned}}

Af dette ser vi, at den betingede sandsynlighed for vektoren X for en given værdi af statistikken ikke afhænger af parameteren og derfor er en tilstrækkelig statistik. ${\mathrm {T}}(X)\;$ ${\mathrm {T}}(X)\;$

Omvendt kan vi skrive:

\mathbb {P} (X=x|\theta )=\mathbb {P} (X=x|\mathrm {T} (X)=t,\theta )\cdot \mathbb {P} (\ mathrm {T} (X)=t|\theta ).

Ud fra ovenstående har vi, at den første faktor på højre side ikke afhænger af parameteren og kan tages som en funktion fra formuleringen af sætningen. Den anden faktor er en funktion af og og kan tages som en funktion.Dermed opnås den nødvendige dekomponering, som fuldender beviset for sætningen. $\theta$ $h(x)$ $\theta \;$ ${\mathrm {T}}(X),\;$ $g(\theta ,{\mathrm {T}}(x)).$

Eksempler

Bernoulli distribution

Lade være en sekvens af tilfældige variable , der er lig med 1 med sandsynlighed og lig med 0 med sandsynlighed (det vil sige, de har en Bernoulli-fordeling ). Derefter $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\;$ $s$ $1-s$

\mathbb {P} (x_{1},\ldots x_{n}|p)=p^{\sum x_{i))(1-p)^{n-\sum x_{i)) =p^{\mathrm {T} (x)}(1-p)^{n-\mathrm {T} (x)},

hvis du tager $\mathrm {T} (X)=X_{1}+\ldots +X_{n}.$

Så er denne statistik tilstrækkelig ifølge faktoriseringssætningen, hvis vi betegner

g(p,\mathrm {T} (x_{1},\ldots x_{n}))=p^{\mathrm {T} (x_{1},\ldots x_{n})}( 1-p)^{n-\mathrm {T} (x_{1},\ldots x_{n})},

h(x_{1},\ldots x_{n})=1.

Poisson distribution

Lade være en sekvens af stokastiske variable med Poisson-fordelingen . Derefter $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\;$

{\mathbb {P}}(x_{1},\ldots x_{n}|\lambda )={e^{{-\lambda }}\lambda ^{{x_{1}}} \over x_{1 }!}\cdot {e^{{-\lambda }}\lambda ^{{x_{2}}} \over x_{2}!}\cdots {e^{{-\lambda }}\lambda ^{ {x_{n}}} \over x_{n}!}=e^{{-n\lambda }}\lambda ^{{(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}) }}\cdot {1 \over x_{1}!x_{2}!\cdots x_{n}!}=e^{{-n\lambda }}\lambda ^{{{\mathrm {T}}( x)}}\cdot {1 \over x_{1}!x_{2}!\cdots x_{n}!}

hvor $\mathrm {T} (X)=X_{1}+\ldots +X_{n}.$

Denne statistik er tilstrækkelig ifølge faktoriseringssætningen, hvis vi betegner

{\displaystyle g(\lambda ,\mathrm {T} (x_{1},\ldots x_{n}))=e^{-n\lambda }\lambda ^{\mathrm {T} (x)))

h(x_{1},\ldots x_{n})={1 \over x_{1}!x_{2}!\cdots x_{n}!}

Ensartet fordeling

Lade være en sekvens af ensartet fordelte stokastiske variable . Ad hoc $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\;$ $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\;~U(a,b)$

\mathbb {P} (x_{1},\ldots x_{n}|a,b)=\left(ba\right)^{-n}\mathbf {1} _{\{a\, \leq \,\min _{1\leq i\leq n}X_{i}\}}\mathbf {1} _{\{\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\, \leq\,b\}}.

Det følger heraf, at statistikken er tilstrækkelig. $T(X)=\left(\min _{1\leq i\leq n}X_{i},\max _{1\leq i\leq n}X_{i}\right)$

Normalfordeling

For stokastiske variable med en normalfordeling ville en tilstrækkelig statistik være $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\;$ ${\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})$ ${\mathrm {T}}(X)=\left(\sum _{{i=1}}^{n}X_{i},\sum _{{i=1}}^{n}X_{i }^{2}\right)\,.$

Egenskaber

For en tilstrækkelig statistisk T og en bijektiv mapping er statistikken også tilstrækkelig. $\phi$ $\phi (T)$
Hvis - statistisk estimat af en eller anden parameter - er en tilstrækkelig statistik, og så er det bedste estimat af parameteren i betydningen standardafvigelsen, det vil sige uligheden $\delta (X)$ $\theta,$ ${\mathrm {T}}(X),\;$ $\delta _{{1}}(X)={\textrm {E}}[\delta (X)|T(X)]$ $\delta _{{1}}(X)$

{\textrm {E}}[(\delta _{1}(X)-\theta )^{2}]\leq {\textrm {E}}[(\delta (X)-\theta ) ^{2}]

desuden opnås lighed kun, når er en målbar funktion af T . ( Rao-Blackwell-Kolmogorov-sætning )

\delta

Det følger af det foregående, at et estimat kun kan være optimalt med hensyn til standardafvigelse, når det er en målbar funktion af den minimale tilstrækkelige statistik.
Hvis statistikken er tilstrækkelig og fuldstændig (det vil sige ud fra hvad der følger ), så er en vilkårlig målbar funktion af den et optimalt estimat af dens matematiske forventning . $T={\mathrm {T}}(X),\;$ $E_{{\theta }}[g(T(X))]=0,\,\forall \theta \in \Theta$ $P_{\theta }(g(T(X))=0)=1\,\forall \theta \in \Theta$

Se også

Litteratur

Kholevo, AS (2001), "Sufficient statistic", i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Lehmann, E.L.; Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (2. udgave). Springer . Kapitel 4. ISBN 0-387-98502-6 .
Leman E. Teori om punktvurdering. — M .: Nauka, 1991. — 448 s. — ISBN 5-02-013941-6 .

Ordbøger og encyklopædier	stor kinesisk stor kinesisk Stor russer