Rao-Blackwell-Kolmogorov-sætning
Rao - Blackwell - Kolmogorov - sætningen er et udsagn i matematisk statistik , på grundlag af hvilket det er muligt at forbedre statistiske estimater af parametre.
Lade være en sekvens af uafhængige identisk fordelte stokastiske variable med en fordeling afhængig af en ukendt parameter Lade være et statistisk estimat af denne ukendte parameter med en endelig matrix for parameterentilstrækkelig statistikenværeog,sekundære momenteraf z af den påkrævede dimension gælder følgende ulighed :
![{\displaystyle {\hat {\theta }}_{1}(X)={\textrm {E}}[{\hat {\theta }}(X)|T(X)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97480f5ab58293d23acf8d0c5712e78295b41dad)
![{\displaystyle z{\textrm {E}}[({\hat {\theta }}_{1}(X)-\theta )^{T}({\hat {\theta}}_{1}( X)-\theta )]z^{T}\leqslant z{\textrm {E}}[({\hat {\theta }}(X)-\theta )^{T}({\hat {\theta }}(X)-\theta )]z^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55733ceeafce0ac4455b75012aae793bf111832f)
Lighed gælder kun, når er en målbar funktion af T.
Bevis
Bevis for det tilfælde, hvor parameteren er et enkelt tal, det vil sige, at dens dimension er lig med en. Derefter
![{\displaystyle \operatorname {E} [{\hat {\theta }}_{1}(X)-\theta ]^{2}=\operatørnavn {E} \left[{\textrm {E}}({ \hat {\theta }}(X)|T(X))-\theta \right]^{2}=\operatørnavn {E} \left[{\textrm {E}}({\hat {\theta } }(X)-\theta |T(X)\right]^{2}\leqslant \operatørnavn {E} \left[{\textrm {E}}(({\hat {\theta }}(X) -\theta )^{2}|T(X))\right]=\operatørnavn {E} ({\hat {\theta }}(X)-\theta )^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515de1b428b90ab10a7856822bb41f8ec1718640)
Uligheden følger af, at for enhver stokastisk variabel W , hvis vi tager Herfra ser vi også, at ligheden kun er opfyldt, når , det vil sige, når den tager én værdi for hver værdi T , det vil sige, at den er en funktion af T .
![{\displaystyle \operatørnavn {var} W=\operatørnavn {E} W^{2}-(\operatørnavn {E} W)^{2}]\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0fb588539a74ef43f042307ffc8ad3da9765b8)
Se også
Litteratur
- Lehmann, E.L.; Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (2. udgave). Springer. Kapitel 4. ISBN 0-387-98502-6 .
- Nikulin, MS (2001), "Rao-Blackwell-Kolmogorov-sætning", i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104