Differentiel geometri af kurver

Differentialgeometri af kurver er en gren af differentialgeometri , der beskæftiger sig med studiet af glatte rumlige og plane kurver i det euklidiske rum ved hjælp af analytiske metoder.

Måder at definere en kurve på

Den mest generelle måde at indstille ligningen for en rumkurve på er parametrisk :

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)\qquad \qquad

(en)

hvor er jævne funktioner af parameteren , og (regelmæssighedstilstand). $x(t),\ y(t),\ z(t)$ $t$ $(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}\ >0$

Det er ofte praktisk at bruge en invariant og kompakt notation af ligningen for en kurve ved hjælp af en vektorfunktion :

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)

hvor på venstre side er radiusvektoren for kurvens punkter, og højre side bestemmer dens afhængighed af en eller anden parameter . Ved at udvide denne notation i koordinater får vi formel (1). $t$

Afhængig af differentiabilitetsegenskaberne for de funktioner, der definerer kurven, taler man om graden af glathed (regularitet) af kurven. En kurve kaldes regulær , hvis den for nogen af dens punkter, med et passende valg af et rektangulært kartesisk koordinatsystem , tillader, i nærheden af dette punkt, at blive givet ved ligninger af formen: $x(t),\ y(t),\ z(t)$ $x,\y,\z$

y=y(x),\ z=z(x)

hvor og er differentierbare funktioner. $y(x)\$ $z(x)\$

For at et punkt på kurven givet af den generelle ligning (1) skal være et almindeligt punkt (ikke et ental punkt ), er det tilstrækkeligt, at den følgende ulighed gælder på dette punkt

(x')^{{2}}+(y')^{{2}}+(z')^{{2}}\ >0.

Differentialgeometri tager også hensyn til stykkevis glatte kurver, som består af glatte sektioner adskilt af enkeltstående punkter. På enkeltpunkter opfylder de definerende funktioner enten ikke regularitetsbetingelserne eller er slet ikke differentiérbare.

Flade kurver

En vigtig klasse af kurver er plane kurver, det vil sige kurver der ligger i et plan. En plan kurve kan også specificeres parametrisk ved de første to af de tre ligninger (1). Andre metoder:

Eksplicit opgave :. $y=f(x)\$
Implicit opgave :. $F(x,\y)=0$

Funktionerne forudsættes løbende at kunne differentieres. Med en implicit tildeling vil et punkt på kurven være ordinært, hvis funktionen i sit naboskab har kontinuerte partielle afledninger , der ikke er lig med nul på samme tid. $f,\F$ $F(x,y)\$ $F_{x}',\ F_{y}'$

Lad os give eksempler på enkeltpunkter for plane kurver.

Semikubisk parabel : Begge derivater er nul ved oprindelsen. Dette er et enestående punkt (en spids af den første slags), hvor tangentvektoren brat ændrer retning til det modsatte. $x=t^{2};\ \ y=at^{3}.$
Ligningen definerer en kurve bestående af en ret linje og et isoleret entalspunkt ved origo. $(x-1)(x^{2}+y^{2})\ =0$ $x=1\$

Bernoullis lemniscat er et enestående punkt ved selvskæring. Ved entalspunktet er funktionen differentierbar, men regularitetsbetingelsen er overtrådt.

Kontakt

En række grundlæggende begreber i kurveteorien introduceres ved hjælp af begrebet kontakt af mængder , som består i det følgende. Lad og være to sæt med et fælles punkt . Et sæt siges at have kontakt med på et bestillingspunkt if $M$ $m$ $O$ $M$ $m$ $O$ $\alpha \geqslant 1$

{\frac {\delta (X)}{\venstre|XO\right|^({\alpha ))))\til 0

kl ,

X\ til O

hvor er afstanden af sætpunktet fra . $\delta (X)$ $x$ $M$ $m$

Som anvendt på kurver betyder dette følgende: to kurver i et fælles punkt har en tangensgrad på mindst den k . orden, hvis deres afledte i det fælles punkt, op til den k . orden inklusive, falder sammen.

Tangent

Hvis vi tager en kurve som en, og en ret linje, der går gennem et punkt i kurven, så bestemmer under kontaktbetingelsen tangenten til kurven i punktet (fig. 1). Tangenten i et punkt på kurven kan også defineres som grænsepositionen for sekanten, der passerer gennem og tæt på det punkt, hvor den har tendens til . $M$ $m$ $O$ $\alpha \geqslant 1$ $O$ $P$ $P$ $P_1$ $P_1$ $P$

En jævn regelmæssig kurve har en bestemt tangent ved hvert punkt. Retningen af tangenten ved punktet af kurven givet ved ligning (1) falder sammen med retningen af vektoren . I vektornotation er dette den afledede . $t_0$ $\{x'(t_{0}),\ y'(t_{0}),\ z'(t_{0})\}$ ${\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}(t_{0})$

I differentialgeometri udledes tangentligninger for forskellige måder at analytisk specificere en kurve på. Især for kurven givet af ligning (1), vil ligningerne for tangenten i det punkt, der svarer til værdien af parameteren , være $t_0$

{\frac {X-x_{0}}{x_{0}'}}={\frac {Y-y_{0}}{y_{0}'}}={\frac {Z-z_{0} }{z_{0}'}}

hvor indekset angiver værdien af funktionerne og deres afledte ved punktet . ${}_{0}\$ $x,y,z\$ $t_{0}\$

For en plan kurve har tangentligningen i et punkt følgende form. $(x_{0},\ y_{0})$

Parametrisk opgave: $Y=y_{0}+{\frac {y_{0}'}{x_{0}'}}(X-x_{0})$
Eksplicit opgave: $Y=y_{0}+f_{0}'(X-x_{0})\$
Implicit job: $Y=y_{0}-{\frac {(F_{x}')_{0}}{(F_{y}')_{0}}}(X-x_{0})$

Sammenhængende plan og normaler

Hvis vi tager som et plan, der passerer gennem punktet af kurven , så bestemmer kontakttilstanden ved kurvens kontaktplan (fig. 1). En dobbelt differentierbar kurve har et sammenhængende plan i hvert punkt. Det er enten unikt, eller ethvert plan, der passerer gennem kurvens tangent, er tangent. $m$ $O$ $M$ $\alpha \geqslant 2$

Lad være ligningen for kurven. Derefter bestemmes ligningen for dets sammenhængende plan ud fra relationen, hvor og i parentes er det blandede produkt af vektorer. I koordinater ser det sådan ud: ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$ $(\mathbf {R} -\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',\mathbf {r} '')=0,$ $\mathbf {R} =(X,Y,Z)$

{\begin{vmatrix}Xx&Y-y&Z-z\\x'&y'&z'\\x''&y''&z''\end{vmatrix}}=0

En linje vinkelret på tangenten og går gennem kontaktpunktet kaldes normalen til kurven . Planen vinkelret på tangenten i et givet punkt på kurven kaldes normalplanen ; alle normaler for et givet punkt ligger i normalplanet. Normalen, der ligger i kontaktplanet kaldes hovednormalen , og normalen vinkelret på berøringsplanet kaldes binormalen [1] . For kortheds skyld kan enhedsvektorer langs disse linjer også kaldes normale og binormale (i dette tilfælde vælges retningen af hovednormalvektoren normalt til at falde sammen med retningen af kurvens krumningsvektor [2] ).

Vektorligningen for den binormale i det punkt, der svarer til værdien af parameteren, har formen: $t_0$ $t$

{\boldsymbol {r}}(\lambda )={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r }}''(t_{0})].

Retningen af hovednormalen kan opnås som et dobbeltkrydsprodukt :. $[[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} ']$

For en plan kurve falder det plan, der indeholder den, sammen med tangentplanet. Normalen, op til tegnet, er kun én - den vigtigste, og dens ligning på et punkt har følgende form. $(x_{0},\ y_{0})$

Parametrisk opgave: $Y=y_{0}-{\frac {x_{0}'}{y_{0}'}}(X-x_{0})$
Eksplicit opgave: $Y=y_{0}-{\frac {X-x_{0}}{f_{0}'}}$
Implicit job: $Y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(X-x_{0})$

Sammenhængende cirkel

Cirklen, der berører kurven på et givet punkt, har ordenskontakt med kurven (fig. 2). Det eksisterer ved hvert punkt af en dobbelt differentierbar kurve med ikke-nul krumning (se nedenfor) og er også grænsen for en cirkel, der passerer igennem og to punkter tæt på den, når den har tendens til . $P$ $\alpha \geqslant 2$ $P$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $P$

Centrum af den sammenhængende cirkel kaldes krumningscentrum , og radius kaldes krumningsradius . Krumningsradius er den reciproke af krumning (se nedenfor). Centrum af en rørende cirkel ligger altid på hovednormalen; deraf følger, at denne normal altid er rettet mod kurvens konkavitet .

Lokuset for krumningscentrene for en kurve kaldes evolutionen . En kurve, der ortogonalt skærer kurvens tangenter, kaldes en involut . Konstruktionen af en evolution og en involut er gensidigt omvendte operationer, det vil sige, for evolutionen af en given kurve, er evolutionen selve kurven.

Kurvebuelængde

For at måle længden af en sektion (bue) af en vilkårlig kurve erstattes denne kurve af en polylinje, der indeholder kurvepunkter som brudpunkter, og den maksimale sum af længderne af alle sådanne polylinjer tages som længden af kurven (fig. 3). I en invariant form er formlen til beregning af længden af en bue ( udretning af en kurve ):

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}|{\mathbf {r'}}(t)|\,dt

Det samme i kartesiske koordinater:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2 }+(z'(t))^{2}}}\,dt.

I polære koordinater for en flad kurve:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\, d\theta .

Parametrisering

Kurven tillader et uendeligt antal forskellige måder til parametrisk tildeling ved ligninger på formen (1). Blandt dem er den såkaldte naturlige parametrisering af særlig betydning , når længden af kurvens bue, målt fra et fast punkt, fungerer som en parameter.

Blandt fordelene ved denne parameterisering:

${\mathbf {r))'$ har enhedslængde og falder derfor sammen med tangentens enhedsvektor.
${\mathbf {r))''$ falder i længden sammen med krumningen og i retning med hovednormalen.

Krumning

Når man bevæger sig langs en kurve, ændrer dens tangent retning. Hastigheden af denne rotation (forholdet mellem tangentens rotationsvinkel over et uendeligt lille tidsrum til dette interval) med ensartet, med enhedshastighed, bevægelse langs kurven kaldes kurvens krumning . Den tidsafledede af tangentens positive enhedsvektor kaldes i dette tilfælde kurvens krumningsvektor . Begge er funktioner af et punkt på kurven. Krumning er den absolutte værdi af krumningsvektoren.

I tilfælde af en vilkårlig parametrisk specifikation af en kurve [3] bestemmes kurvens krumning i tredimensionelt rum af formlen

k_{1}={\frac {\left|[\mathbf {r} '(t)\times \ \mathbf {r} ''(t)]\right|}{\left|\mathbf { r} '(t)\right|^{3}}}

hvor er en vektorfunktion med koordinater . ${\mathbf {r}}(t)$ $x(t),\ y(t),\ z(t)$

I koordinater:

k_{1}={\frac {{\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+( y''x'-x''y')^{2}}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{{3/2}} }}

For en kurve i et højere dimensionelt rum kan man erstatte krydsproduktet , her betegnet med firkantede parenteser, med det ydre produkt .

For en kurve i et rum af enhver dimension kan du også bruge krumningsvektorformlen:

{\mathbf k}={\frac {d{\mathbf \tau }}{dl}}

og det faktum, at krumningen er dens modul, samt udtrykket for enhedstangensvektoren

{\mathbf \tau }={\frac {d{\mathbf r}}{dl}}={\frac {r'}{|r'|}}

dl=|{\mathbf r}'|dt,

og få formlen for krumning:

k=\left|{\frac {1}{|{\mathbf r}'|}}\left({\frac {{\mathbf r}'}{|{\mathbf r}'|}}\right) '\right|,

eller åbne parenteser:

k=\left|{\frac {{\mathbf r}''}{({\mathbf r}')^{2))}-{\mathbf r}'{\frac {({\mathbf r}' ',{\mathbf r}')}{({\mathbf r}')^{4))}\right|.

Lige linjer og kun lige linjer har nul krumning overalt. Derfor viser krumningen tydeligt, hvordan (på et givet punkt) kurven adskiller sig fra en ret linje: Jo tættere krumningen er på nul, jo mindre er denne forskel. Krumningen af en cirkel med radius R er 1/R.

En dobbelt differentierbar kurve ved hvert punkt, hvor krumningen ikke er nul, har et enkelt sammenhængende plan.

For plane kurver kan man skelne tangentens rotationsretning, når man bevæger sig langs kurven, så krumningen kan tildeles et fortegn afhængig af denne rotationsretning. Krumningen af en plan kurve givet af ligningerne bestemmes af formlen $x=x(t),\ y=y(t)$

k=\pm {\frac {y''x'-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{{3/2))))

Tegnet eller er taget efter konvention, men er bevaret langs hele kurven. $+$ $-$

Torsion

Når man bevæger sig langs en kurve i nærheden af et givet punkt, roterer kontaktplanet, og tangenten til kurven er den øjeblikkelige akse for denne rotation. Rotationshastigheden af kontaktplanet under ensartet bevægelse med enhedshastighed kaldes torsion . Rotationsretningen bestemmer tegnet på drejningen.

En tre gange differentierbar kurve har en vis torsion ved hvert punkt med krumning, der ikke er nul. I tilfælde af en vilkårlig parametrisk specifikation af kurven ved ligning (1), bestemmes kurvens torsion af formlen

k_{2}={\frac {(\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} ''')}{\left|[\mathbf {r} '\ gange \ \mathbf {r} '']\right|^{2}}},

her betegner det blandede produkt og er vektorproduktet , dvs. $(*,*,*)$ $[*,*]$

k_{2}={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''( x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+ (x'y''-x''y')^{2}}}.

For en ret linje er torsion ikke defineret, da tangentplanet er tvetydigt defineret. En plan kurve har nul torsion ved hvert punkt. Omvendt er en kurve med identisk nul torsion flad.

Frenets formler

En figur sammensat af en tangent, en hovednormal og en binormal samt tre planer, der indeholder disse linjer i par, kaldes et naturligt trihedron ( Frenets trihedron , se fig. 4). Tangent- og normalplanerne er allerede nævnt; det tredje plan, der indeholder tangenten og det binormale, kaldes ensretteren .

Hvis kanterne af et naturligt trihedron i et givet punkt af kurven tages som akserne i et rektangulært kartesisk koordinatsystem, udvides kurvens ligning i den naturlige parametrisering i nærheden af dette punkt til en serie langs koordinaterne langs kurven:

x=s+\dots ,\qquad y={\frac {k_{1}}{2}}s^{2}+\dots ,\qquad z=-{\frac {k_{1}k_{ 2}}{6}}s^{3}+\dots ...,

hvor og er kurvens krumning og vridning på det angivne punkt. $k_{1}\$ $k_{2}\$

Enhedsvektorerne for henholdsvis tangenten, hovednormalen og binormalen af kurven ændres ved bevægelse langs kurven. Med et passende valg af retningen af disse vektorer opnås følgende formler fra definitionen af krumning og torsion: ${\boldsymbol {{\vec t}}},\ {\boldsymbol {{\vec n}}},\ {\boldsymbol {{\vec b}}}$

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec t)))){ds}}=k_{1}{\boldsymbol {{\vec n}}}

((2))

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec n)))){ds}}=-k_{1}{\boldsymbol {{\vec t}}}+k_{2}{\boldsymbol {{\vec b}}}\qquad

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec b)))){ds}}=-k_{2}{\boldsymbol {{\vec n}}}

hvor differentieringen går langs kurvens bue. Formler (2) kaldes Frenet- formler eller Frenet- Serret - formler .

Kinematisk fortolkning

Vi vil betragte længden af buen af en given kurve som tid, og Frenet-triederet som et stivt legeme, der bevæger sig langs kurven. Så består denne bevægelse i hvert øjeblik af tiden af translationel (langs tangenten) og øjeblikkelig rotation med vinkelhastighed ( Darboux-vektoren ). Frenets formler indebærer: ${\boldsymbol {{\vec \omega ))}$

{\boldsymbol {{\vec \omega }}}=k_{1}\ {\boldsymbol {{\vec b}}}+k_{2}\ {\boldsymbol {{\vec t}}}

Det betyder, at den momentane rotationsvektor ligger i ensretterplanet og er opdelt i 2 komponenter: rotation omkring det binormale med hastighed (rotation) og rotation omkring tangenten med hastighed (torsion). $k_{1}\$ $k_{2}\$

Naturlige kurveligninger

En kurve med ikke-nul krumning er fuldstændig defineret (op til position i rummet) ved at specificere dens krumning og torsion som funktioner af kurvens bue. I denne henseende er ligningssystemet $s$

k_{1}=k_{1}(s),~~k_{2}=k_{2}(s)

kaldes kurvens naturlige ligninger .

Eksempel

Betragt en helix (fig. 4) givet ved ligningerne:

x(t)=a\ \cos t

y(t)=a\ \sin t

z(t)=b\t

Ifølge ovenstående formler får vi:

k_{1}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}

k_{2}={\frac {b}{a^{2}+b^{2))}

Helixens krumning og torsion er således konstant. Da naturlige ligninger entydigt bestemmer formen af en kurve, er der ingen andre kurver med konstant krumning og torsion. De begrænsende tilfælde af en helix er en cirkel (den opnås ved ) og en ret linje ( ). $b=0\,\!$ $a=0\,\!$

Noter

↑ Binormal // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
↑ Planet, der berører kurven i et givet punkt, er således det plan, som tangentvektoren og krumningsvektoren ligger i, idet det antages, at hver af disse vektorer stammer fra det givne punkt på kurven.
↑ dvs. når man bevæger sig langs kurven, generelt set, ikke med en konstant hastighed, da parameteren t stiger .

Se også

Litteratur

Pogorelov A. V. Differentialgeometri (6. udgave). Moskva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Et kursus i differentialgeometri (3. udgave). M.-L.: GITTL, 1950.
Toponogov, V. A. Differentiel geometri af kurver og overflader . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .