Binær logaritme

Den binære logaritme er logaritmen med basis 2. Med andre ord er den binære logaritme af et tal løsningen på ligningen $b$ $2^{x}=b.$

Den binære logaritme af et reelt tal eksisterer, hvis det ifølge ISO 31-11 er angivet med [1] eller . Eksempler: $b$ $b>0.$ $\operatørnavn {lb} b,$ $\operatørnavn {lb} (b)$ $\log _{2}b$

\operatørnavn{lb} 1=0;\, \operatørnavn{lb} 2=1;\, \operatørnavn{lb} 16=4

\operatørnavn{lb} 0{,}5=-1;\, \operatørnavn{lb} \frac{1}{256}=-8

Historie

Historisk set fandt binære logaritmer deres første anvendelse i musikteori, da Leonhard Euler fastslog, at den binære logaritme af forholdet mellem frekvenserne af to musikalske toner er lig med antallet af oktaver , der adskiller en tone fra en anden. Euler udgav også en tabel over de binære logaritmer af heltal 1 til 8, op til syv decimaler [2] [3] .

Med fremkomsten af datalogi blev det klart, at binære logaritmer var nødvendige for at bestemme antallet af bits , der kræves for at kode en besked . Andre felter, hvor den binære logaritme ofte bruges, omfatter kombinatorik , bioinformatik , kryptografi , sportsturneringer og fotografering . En standardfunktion til beregning af den binære logaritme findes i mange almindelige programmeringssystemer.

Algebraiske egenskaber

Følgende tabel antager, at alle værdier er positive [4] :

	Formel	Eksempel
Arbejde	$\operatørnavn {lb} (xy)=\operatørnavn {lb} (x)+\operatørnavn {lb} (y)$	$\operatørnavn {lb} (256)=\operatørnavn {lb} (16\cdot 16)=\operatørnavn {lb} (16)+\operatørnavn {lb} (16)=4+4=8$
Divisionskvotient	$\operatørnavn {lb} \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\operatørnavn {lb} (x)-\operatørnavn {lb} (y)$	$\operatørnavn{lb} \left(\frac{1}{32}\right) = \operatørnavn{lb} (1) - \operatørnavn{lb} (32) = 0 - 5 = -5$
Grad	$\operatørnavn {lb} (x^{p})=p\operatørnavn {lb} (x)$	$\operatørnavn {lb} (1024)=\operatørnavn {lb} (2^{10})=10\operatørnavn {lb} (2)=10$
Rod	$\operatørnavn {lb} {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\operatørnavn {lb} (x)}{p}}$	$\operatørnavn{lb} \sqrt{8} = \frac{1}{2}\operatørnavn{lb} 8 = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Der er en åbenlys generalisering af ovenstående formler til tilfældet, når negative variabler er tilladt, for eksempel:

\operatørnavn{lb} |xy| = \operatørnavn{lb} (|x|) + \operatørnavn{lb} (|y|),

\operatørnavn{lb} \!\venstre|\frac xy \right| = \operatørnavn{lb} (|x|) - \operatørnavn{lb} (|y|),

Formlen for logaritmen af et produkt kan let generaliseres til et vilkårligt antal faktorer:

\operatørnavn{lb}(x_1 x_2 \dots x_n) = \operatørnavn{lb} (x_1) + \operatørnavn{lb} (x_2) + \dots + \operatørnavn{lb} (x_n)

Forholdet mellem binære, naturlige og decimale logaritmer:

\operatørnavn{lb} x \approx 1{,}442695 \ln x

\operatørnavn{lb} x \approx 3{,}321928 \lg x

Den binære logaritmefunktion

Hvis vi betragter det logaritmiske tal som en variabel, får vi den binære logaritmefunktion: . Den er defineret for alle værdiområder: . Grafen for denne funktion kaldes ofte logaritmen , den er den inverse af funktionen . Funktionen er monotont stigende, kontinuerlig og differentierbar , uanset hvor den er defineret. Den afledte for det er givet af formlen [5] : $y=\operatørnavn {lb} x$ $x>0,$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y=2^{x}$

\frac {d} {dx} \operatørnavn{lb} x = \frac {\operatørnavn{lb} e} {x}

Y- aksen er en lodret asymptote , fordi: $(x=0)$

\lim_{x \to 0+0} \operatørnavn{lb} x = - \infty

Ansøgning

Informationsteori

Den binære logaritme af et naturligt tal giver dig mulighed for at bestemme antallet af cifre i den interne computer ( bit ) repræsentation af dette tal: $N$ $b(N)$

b(N) = \lgulv \operatørnavn{lb} N \rgulv + 1

(parentes angiver den heltallige del af tallet)

Informationsentropi er et mål for mængden af information , også baseret på den binære logaritme

Kompleksiteten af rekursive algoritmer

Estimering af den asymptotiske kompleksitet af rekursive divide -and-conquer-algoritmer [6] såsom quicksort , fast Fourier-transformation , binær søgning osv .

Combinatorics

Hvis et binært træ indeholder noder, så er dets højde ikke mindre end (lighed opnås hvis er en potens af 2) [7] . Derfor overstiger Strahler-Filosofov-tallet for et flodsystem med bifloder ikke [8] . $n$ $\log _{2}n$ $n$ $n$ $\log _{2}n+1$

Den isometriske dimension af en delvis terning med hjørner er ikke mindre end antallet af kanter på terningen, ikke mere end lighed gælder, når den delvise terning er en hyperterninggraf [9] . $n$ $\log _{2}n.$ ${\frac {1}{2}}n\log _{2}n,$

Ifølge Ramseys sætning indeholder en urettet vertexgraf enten en klike eller et uafhængigt sæt, hvis størrelse afhænger logaritmisk af . Den nøjagtige størrelse af dette sæt er ukendt, men i øjeblikket indeholder bedste estimater binære logaritmer. $n$ $n.$

Andre anvendelser

Antallet af spilrunder ifølge det olympiske system er lig med den binære logaritme af antallet af deltagere i konkurrencen [10] .

I musikteori , for at løse spørgsmålet om, hvor mange dele der skal opdeles en oktav , er det nødvendigt at finde en rationel tilnærmelse for Hvis vi udvider dette tal til en fortsat brøk , så tillader den tredje konvergerende brøk (7/12) os at retfærdiggøre den klassiske opdeling af oktaven i 12 halvtoner [11] . $\log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585.$

Noter

↑ Nogle gange, især i tyske udgaver, betegnes den binære logaritme (fra latin logarithmus dyadis ), se Bauer, Friedrich L. Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum (engelsk) . - Springer Science & Business Media , 2009. - S. 54. - ISBN 978-3-642-02991-2 . $\operatørnavn {ld} b$
↑ Euler, Leonhard (1739), kapitel VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus , Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae , Sankt Petersborg Akademi, s. 102-112 , < http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html > Arkiveret 11. oktober 2018 på Wayback Machine .
↑ Tegg, Thomas (1829), Binære logaritmer , London encyklopædi; eller, Universal ordbog over videnskab, kunst, litteratur og praktisk mekanik: omfattende et populært syn på den nuværende videnstilstand, bind 4 , s. 142–143 , < https://books.google.com/books?id=E-ZTAAAAYAAJ&pg=PA142 > Arkiveret 23. maj 2021 på Wayback Machine .
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , s. 187..
↑ Logaritmisk funktion. // Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ Harel, David; Feldman, Yishai A. Algorithmics: the spirit of computing . - New York: Addison-Wesley, 2004. - S. 143 . - ISBN 978-0-321-11784-7 .
↑ Leiss, Ernst L. (2006), A Programmer's Companion to Algorithm Analysis , CRC Press, s. 28, ISBN 978-1-4200-1170-8 , < https://books.google.com/books?id=E6BNGFQ6m_IC&pg=RA2-PA28 > Arkiveret 12. august 2020 på Wayback Machine
↑ Devroye, L. & Kruszewski, P. (1996), On the Horton-Strahler number for random tries , RAIRO Informatique Théorique et Applications bind 30 (5): 443-456, doi : 10.1051/ita/199643005 , < 4 ://eudml.org/doc/92635 > Arkiveret 7. oktober 2015 på Wayback Machine .
↑ Eppstein, David (2005), The lattice dimension of a graph , European Journal of Combinatorics bind 26 (5): 585–592 , DOI 10.1016/j.ejc.2004.05.001
↑ Kharin A. A. Organisering og afholdelse af konkurrencer. Metodisk vejledning . - Izhevsk: UdGU, 2011. - S. 27.
↑ Shilov G. E. Simpel gamma. Enhed med musikvægt. Arkivkopi dateret 22. februar 2014 på Wayback Machine M.: Fizmatgiz, 1963. 20 s. Serien "Populære forelæsninger i matematik", udgave 37.

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik . - udg. 25. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - udg. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 s.