Galois geometri

Galois-geometri (opkaldt efter den franske matematiker Évariste Galois fra det 19. århundrede ) er en gren af finit geometri , der betragter algebraisk og analytisk geometri over endelige felter (eller Galois-felter ) [1] . I en snævrere forstand kan Galois geometri defineres som et projektivt rum over et begrænset felt [2] .

Introduktion

Undersøgelsesobjekterne er vektorrum , affine og projektive rum over begrænsede felter og forskellige strukturer indeholdt i dem. Især buer , ovaler , hyperovaler , unitals , blokeringssæt , ovaler , manifolds og andre endelige analoger af strukturer fundet i uendelige geometrier.

George Conwell demonstrerede Galois geometri i 1910, da han beskrev løsningen på Kirkman Schoolgirl Problemet som en opdeling af sættet af skæve linjer i PG(3,2), en tredimensionel projektiv geometri over Galois-feltet GF(2) [3] . I lighed med metoderne til geometri af linjer i rummet over et felt med karakteristisk 0 , brugte Conwell Plücker-koordinaterne i PG(5,2) og identificerede punkter, der repræsenterer linjer i PG(3,2) med punkter, der ligger på Klein-kvadricen .

I 1955 beskrev Beniamino Segre ovaler for ulige q . Segres sætning siger, at i Galois geometri af ulige orden (projektivt plan defineret over et endeligt felt med ulige karakteristika ) er enhver oval et keglesnit . På den internationale matematikkongres i 1958 præsenterede Segre en oversigt over de resultater, der var tilgængelige på det tidspunkt i Galois-geometrien [4] .

$q$ kaldes rækkefølgen af et endeligt projektivt plan, således at hvert punkt (en linje) og antallet af punkter er lig med antallet af linjer. For eksempel når det projektive plan er en trekant. Galois-planerne er endelige projektive planer, som Desargues-sætningen gælder for. For et endeligt projektivt plan er flere sammenhængende konfigurationer defineret. Skemaet, der indeholder dem, er defineret på sættet, hvor er sættet af elementer (punkter og linjer) af det endelige projektive plan og, i tilfælde af Desarguesianity, udvides til det skema, der svarer til gruppens komponentvise handling på [5] $q^{2}+q+1.$ $q=1$ $\Pi$ $V^{2},$ $V$ $\pi ,$ $\mathrm {Aut} (\Pi )$ $V^{2}.$

Se også

Noter

↑ Galois geometri Arkiveret 10. august 2011 på Wayback Machine i Encyclopedia of Mathematics
↑ "Projektive rum over endelige felter, også kendt som Galois geometrier, ...", ( Hirschfeld, Thas 1992 )
↑ Conwell, 1910 , s. 60-76.
↑ Segre, 1958 .
↑ S.A. Evdokimov, I.N. Ponomarenko, Schemes of relations of the finite projective plan and their extensions, Algebra i Analiz, 2009, bind 21, udgave 1, 90-132.

Litteratur

Beniamino Segre. Om Galois Geometrier . — International Mathematical Union , 1958. Arkiveret 30. marts 2015 på Wayback Machine
George M. Conwell. 3-rums PG(3,2) og dens grupper. — Mathematiks annaler . - 1910. - T. 11. - S. 60–76. - doi : 10.2307/1967582 .
JWP Hirschfeld. Projektive geometrier over endelige felter . - Oxford University Press , 1979. - ISBN 978-0-19-850295-1 .
JWP Hirschfeld. Finite projektive rum af tre dimensioner . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 0-19-853536-8 .
J.W.P. Hirschfeld, J.A. Thas. General Galois Geometries. - Oxford University Press , 1992. - ISBN 978-0-19-853537-9 .
Jan De Beule, Leo Storme. Aktuelle forskningsemner i Galois Geometry . - Nova Science Publishers, 2011. - ISBN 978-1-61209-523-3 . Arkiveret 29. januar 2016 på Wayback Machine