Forcerede vibrationer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. juni 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Tvangssvingninger - svingninger , der forekommer under påvirkning af eksterne periodiske kræfter.

Selvsvingninger adskiller sig fra tvangssvingninger ved, at sidstnævnte er forårsaget af en periodisk ydre handling og forekommer ved frekvensen af denne handling, mens forekomsten af selvsvingninger og deres frekvens bestemmes af det selvsvingende systems indre egenskaber. .

Det enkleste og mest meningsfulde eksempel på tvangssvingninger kan fås ved at overveje en harmonisk oscillator og en drivkraft, der ændrer sig efter loven: . $F(t) = F_0 \cos\venstre(\Omega t\højre)$

Tvungede svingninger af en harmonisk oscillator

Den konservative harmoniske oscillator

Newtons anden lov for en sådan oscillator vil blive skrevet på formen: . Hvis vi introducerer notationen: og erstatter accelerationen med den anden afledede af koordinaten med hensyn til tid, får vi følgende almindelige differentialligning : $ma = -kx + F_0 \cos\left(\Omega t\right)$ $\omega_0^2=\frac km, \quad \Phi_0=\frac{F_0}{m}$

\ddot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos (\Omega t)

Løsningen af denne ligning vil være summen af den generelle løsning af den homogene ligning og den særlige løsning af den inhomogene ligning. Den generelle løsning af den homogene ligning er allerede opnået her , og den har formen:

x(t) = A \sin\venstre(\omega_0 t + \varphi\right)

hvor er vilkårlige konstanter, som bestemmes ud fra startbetingelserne. $A,\varphi$

Lad os finde en bestemt løsning. For at gøre dette erstatter vi en løsning af formen: i ligningen og får værdien for konstanten: $x(t)=B \cos \venstre(\Omega t \right)$

B = \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}

Så vil den endelige løsning blive skrevet som:

x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)+{\frac {\Phi _{0)){\omega _{0}^{2}- \Omega ^{2}}}\cos \left(\Omega t\right)

Resonans

Det kan ses af løsningen, at når frekvensen af drivkraften er lig med frekvensen af frie svingninger, er det ikke egnet - der opstår resonans , det vil sige en "ubegrænset" lineær stigning i amplitude med tiden. Fra forløbet af matematisk analyse er det kendt, at løsningen i dette tilfælde skal søges i form :. Ved at indsætte denne ansatz i differentialligningen får vi det $x(t)=t \left(A \cos \left(\Omega t \right) + B \sin \left(\Omega t \right)\right)$

A = 0 \qquad B = \frac{\Phi_0}{2\Omega}

Således vil oscillationer ved resonans blive beskrevet ved følgende relation:

x(t) = \frac{\Phi_0}{2\Omega} t \sin \left(\Omega t \right)

Dæmpet harmonisk oscillator

Newtons anden lov:

ma = -kx - \alpha v + F_0 \cos\left(\Omega t\right)

Ombetegnelser:

\omega_0^2=\frac km, \qquad \Phi_0=\frac{F_0}{m}, \qquad \zeta = \frac {\alpha}{2\sqrt{km}}

Differentialligning:

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos \left (\Omega t\right)

Dens løsning vil blive bygget som summen af løsninger af en homogen ligning og en bestemt løsning af en inhomogen ligning . En analyse af den homogene ligning er givet her . Vi indhenter og analyserer en bestemt løsning.

Drivkraften skriver vi således: , så leder vi efter løsningen i formen: , hvor . Erstat denne løsning i ligningen og find et udtryk for : $\Phi_0 \cos \Omega t = \Phi_0 Re\, e^{-i\Omega t}$ ${\displaystyle x(t)=Ae^{-i\Omega t))$ $A\in \mathbb {C}$ $EN$

A={\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}-2i\zeta \Omega }}={\frac {\Phi _ {0}\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}+2i\zeta \Omega \right)}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}}}=|A|e^{-i\varphi }

hvor $|A|={\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+ 4\zeta ^{2}\Omega ^{2)))),\qquad \varphi =-\arctan {\frac {2\zeta \Omega }{\omega _{0}^{2}-\Omega ^ {2}}}$

Den komplette løsning ser således ud:

x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t )) + Re\venstre[\ frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta ^2\Omega^2\omega_0^2} e^{-i\Omega t}\right]

hvor er den naturlige frekvens af dæmpede svingninger. $\omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 }$

Konstanterne og i hvert af tilfældene bestemmes ud fra startbetingelserne: $c_1$ $c_2$ $\left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& x_0 \\ \dot{x}(0) &=& v_0 \end{array}\right.$

I dette tilfælde, i modsætning til en friktionsfri oscillator, har oscillationsamplituden ved resonans en endelig værdi.

Hvis vi betragter en stabil proces, det vil sige en situation med , så vil løsningen af den homogene ligning have en tendens til nul, og kun en bestemt løsning vil forblive: $t\, \to\, \infty$

x(t \to \infty)=\Phi_0 \frac{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)\cos{\Omega t}+2\zeta\Omega\sin{\Omega t)) {\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2 )^2 + 4 \zeta^2\omega_0^2 \Omega^2 }} \cos (\Omega t - \varphi)

Det betyder, at ved , "glemmer" systemet startbetingelserne, og svingningernes art afhænger kun af drivkraften. $t\, \to\, \infty$

Det arbejde, som drivkraften udfører i tiden er , og magten er . Fra ligningen $F(t) = F_0 \cos\venstre(\Omega t\højre)$ $dt\$ $F dx\$ $P = F \frac{dx}{dt}$

\ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right)

følger det

P(t) = F \dot x = ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x )m \dot x

Hvis vi tager højde for det med konstante tvangssvingninger

x\, = A\, \cos (\Omega t - \varphi)

\dot x = - A \Omega \sin (\Omega t - \varphi)

\ddot x = - A \Omega ^2 \cos ( \Omega t - \varphi)

så er den gennemsnitlige effekt over perioden: $T = \frac{2 \pi }{ \Omega }$

P = \frac{m}{T} \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^ 2

Arbejde for perioden

W = m \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 T =2\pi A ^2 m \zeta\omega_0 \Omega

Litteratur

Butikov E.I. Naturlige svingninger af en lineær oscillator. Studievejledning . Arkiveret fra originalen den 11. marts 2012. (ubestemt)
Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Introduktion til teorien om svingninger og bølger.