Indskrevet-omskrevet firkant

En indskrevet-omskrevet firkant er en konveks firkant , der har både en indskrevet cirkel og en omskrevet cirkel . Det følger af definitionen, at indskrevne-omskrevne firkanter har alle egenskaberne for både omskrevne firkanter og indskrevne firkanter . Andre navne for disse firkanter er akkordtangent firkant [1] og bicentrisk firkant . De kaldes også to-cirkel firkanter [2] .

Hvis to cirkler, den ene inde i den anden, er den indskrevne cirkel og den omskrevne cirkel af en eller anden firkant, så er ethvert punkt på den omskrevne cirkel toppunktet for nogle (muligvis forskellige) indskrevne firkanter med de samme indskrevne og omskrevne cirkler [3] . Dette er en konsekvens af Poncelets porisme , som blev bevist af den franske matematiker Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

Særlige lejligheder

Eksempler på indskrevne-omskrevne firkanter er firkanter , rektangulære deltoider og ligebenede omskrevne trapezoider .

Beskrivelse

En konveks firkant ABCD med siderne a , b , c , d er bicentrisk, hvis og kun hvis de modstående sider opfylder Pitot-sætningen for omskrevne firkanter og den egenskab ved indskrevne firkanter, at de modsatte vinkler summerer til 180 grader, dvs.

{\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases))

Tre andre beskrivelser vedrører de punkter, hvor den indskrevne cirkel i den omskrevne firkant rører siderne. Hvis en incirkel tangerer siderne AB , BC , CD og DA i henholdsvis punkterne W , X , Y og Z , så er den omskrevne firkant ABCD også omskrevet hvis og kun hvis en af følgende tre betingelser er opfyldt [4] :

Segment WY er vinkelret på XZ
${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

Den første af disse tre betingelser betyder, at kontaktfirkanten WXYZ er en ortodiagonal firkant .

Hvis E , F , G , H er midtpunkterne af henholdsvis WX , XY , YZ , ZW , så er en omskrevet firkant ABCD også omskrevet hvis og kun hvis firkant EFGH er et rektangel [4] .

Ifølge en anden beskrivelse, hvis I er det indskrevne cirkelcentrum af en indskrevet firkant , hvis modsatte sideforlængelser skærer hinanden ved J og K , så er firkanten omskrevet, hvis og kun hvis JIK er en ret vinkel [4] .

En anden nødvendig og tilstrækkelig betingelse er, at en afgrænset firkant ABCD er omskrevet, hvis og kun hvis dens Gauss -linje er vinkelret på Gauss-linjen af dens kontaktfirkant WXYZ . (Den gaussiske linje af en firkant bestemmes af midtpunkterne af dens diagonaler.) [4]

Konstruktion

Der er en simpel metode til at konstruere en bicentrisk firkant:

Konstruktionen begynder med en indskrevet cirkel C r med centrum I og radius r , og tegn derefter to vinkelrette på hinanden akkorder WY og XZ i den indskrevne cirkel C r . I enderne af akkorderne tegner vi tangenterne a , b , c og d til den indskrevne cirkel. De skærer hinanden i punkterne A, B, C og D , som er hjørnerne af den indskrevet-omskrevne firkant [5] . For at tegne den omskrevne cirkel skal du tegne to mediale perpendikulære p 1 og p 2 til siderne af henholdsvis den indskrevne-omskrevne firkant a og b . De skærer hinanden i centrum O af den omskrevne cirkel C R i en afstand x fra centrum I af den indskrevne cirkel C r .

Gyldigheden af denne konstruktion følger af, at i den omskrevne firkant ABCD har kontaktfirkanten WXYZ vinkelrette diagonaler , hvis og kun hvis den omskrevne firkant også er en indskrevet .

Område

Formler i form af fire mængder

Arealet K af en indskrevet-omskrevet firkant kan udtrykkes i form af firkantens fire dimensioner på flere måder. Hvis a , b , c og d er sider, så er arealet givet ved [3] [6] [7] [8] [9]

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.

Dette er et særligt tilfælde af Brahmaguptas formel . Formlen kan også fås direkte fra den trigonometriske formel for området af den omskrevne firkant . Bemærk, at det omvendte ikke holder - nogle firkanter, der ikke er bicentriske, har også areal [10] . Et eksempel på en sådan firkant er et rektangel (med forskellige sider, ikke en firkant). $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$

Arealet kan udtrykkes som segmenter fra toppunktet til kontaktpunktet (for kortheds skyld vil vi kalde disse længder tangentlængder) e , f , g , h [11]

K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).

Formlen for arealet af den indskrevne-omskrevne firkant ABCD med midten af den indskrevne cirkel I [7]

K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Hvis en indskrevet-omskrevet firkant har tangent-akkorder k , l og diagonaler p , q , så har den areal [12]

K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Hvis k , l er tangentakkorder og m , n er firkantede bimedianer , så kan arealet beregnes ved hjælp af formlen [7] .

K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

Formlen kan ikke bruges, hvis firkanten er en ret deltoid , fordi nævneren i dette tilfælde er nul.

Hvis M og N er midtpunkterne af diagonalerne, og E og F er skæringspunkterne for forlængelsen af siderne, så er arealet af den indskrevne firkant givet af

K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}

hvor I er midten af den indskrevne cirkel [7] .

Formler i form af tre mængder

Arealet af en indskrevet-omskrevet firkant kan udtrykkes som to modstående sider og vinklen θ mellem diagonalerne i henhold til formlen [7]

K=ac\mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}=bd\mathrm {ctg} \,{\frac {\theta }{2}}.

I form af to tilstødende vinkler og radius r af den indskrevne cirkel, er arealet givet af formlen [7]

K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).

Arealet er angivet som radius R af den omskrevne cirkel og radius r af den indskrevne cirkel som

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})\sin \theta

hvor θ er en hvilken som helst af vinklerne mellem diagonalerne [13] .

Hvis M og N er midtpunkterne af diagonalerne, og E og F er skæringspunkterne for forlængelserne af modstående sider, kan arealet udtrykkes med formlen

K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}

hvor Q er bunden af vinkelret på linjen EF fra midten af den indskrevne cirkel [7] .

Uligheder

Hvis r og R er radius af henholdsvis den indskrevne cirkel og radius af den omskrevne cirkel, så opfylder arealet K den dobbelte ulighed [14]

\displaystyle 4r^{2}\leqslant K\leqslant 2R^{2}.

Vi får kun lighed, hvis firkanten er en firkant .

En anden ulighed for areal ville være [15] :s.39,#1203

{\displaystyle K\leqslant {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

hvor r og R er henholdsvis radius af den indskrevne cirkel og radius af den omskrevne cirkel.

En lignende ulighed, der giver en bedre øvre grænse for området end den forrige [13]

K\leqslant r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})

og lighed opnås, hvis og kun hvis firkanten er en højre deltoideus .

Også med siderne a, b, c, d og semi-perimeter s :

2{\sqrt {K}}\leqslant qs\leqslant r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};

[15] :s.39,#1203

6K\leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2))};

[15] :s.39,#1203

4Kr^{2}\leqslant abcd\leqslant {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).

[15] :s.39,#1203

Vinkelformler

Hvis a , b , c og d er længderne af siderne AB , BC , CD og DA i den indskrevne-omskrevne firkant ABCD , så kan dens topvinkel beregnes ved hjælp af tangenten [7] :

\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{ 2}},

\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {D}{ 2}}.

Ved at bruge samme notation er følgende formler for sinus og cosinus opfyldt [16] :

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},

\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},

\cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.

Vinklen θ mellem diagonalerne kan beregnes ud fra formlen [8] .

\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.

Radius af den indskrevne cirkel og radius af den omskrevne cirkel

Radius af den indskrevne cirkel r af den indskrevne-omskrevne firkant bestemmes af siderne a , b , c , d ifølge formlen [3]

\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.

Radius af den omskrevne cirkel R er et specialtilfælde af Paramesvara-formlen [3]

\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.

Radius af den indskrevne cirkel kan også udtrykkes i form af successive tangentlængder e , f , g , h ifølge formlen [17] .

\displaystyle r={\sqrt {f.eks.}}={\sqrt {fh}}.

Disse to formler er faktisk nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at en omskrevet firkant med incirkelradius r kan indskrives .

De fire sider a , b , c , d af den indskrevne-omskrevne firkant er løsninger til ligningen af fjerde grad

y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})y^{ 2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0

hvor s er halvperimeteren og r og R er henholdsvis radius af den indskrevne cirkel og radius af den omskrevne cirkel [18] .

Hvis der er en indskrevet-omskrevet firkant med en indskrevet cirkelradius r , hvis tangentlængder er lig med e , f , g , h , så er der en indskrevet-omskrevet firkant med en indskrevet cirkelradius r v , hvis tangentlængder er , hvor v kan være et hvilket som helst reelt tal [19] . ${\displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v))$

En indskrevet-omskrevet firkant har en større incirkelradius end nogen anden omskrevet firkant med samme sidelængde i samme rækkefølge [20] .

Uligheder

Radius af den omskrevne cirkel R og radius af den indskrevne cirkel r opfylder uligheden

R\geqslant {\sqrt {2}}r

hvilket blev bevist af L. Fejes Toth i 1948 [21] . En ulighed bliver kun en lighed, hvis de to cirkler er koncentriske (centrene er de samme). I dette tilfælde er firkanten en firkant . Uligheden kan bevises på flere forskellige måder, en af måderne er at bruge den dobbelte ulighed for området ovenfor.

En generalisering af den tidligere ulighed er [2] [22] .

{\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leqslant {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos { \frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos { \frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leqslant 1

hvor ulighed bliver til lighed, hvis og kun hvis firkanten er en firkant [23] .

Semiperimeteren s af en indskrevet-omskrevet firkant opfylder [24]

{\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2))}-r\right)}}\leqslant s\leqslant {\sqrt {4R^{2}+ r^{2}}}+r

hvor r og R er henholdsvis radius af den indskrevne cirkel og radius af den omskrevne cirkel.

Desuden [15] :s.39,#1203

{\displaystyle 2sr^{2}\leqslant abc+abd+acd+bcd\leqslant 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2))})^{2))

abc+abd+acd+bcd\leqslant 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).

[15] :s.62,#1599

Afstanden mellem midten af den indskrevne cirkel og midten af den omskrevne cirkel

Fuss-sætning

Fuss-sætningen giver en sammenhæng mellem den omskrevne cirkelradius r , den omskrevne cirkelradius R og afstanden x mellem det incirkulære centrum I og det omskrevne cirkelcentrum O , for enhver bicentrisk firkant. Forbindelsen er givet ved formlen [1] [9] [25] .

{\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}},

Eller tilsvarende,

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

Formlen blev udledt af Nikolai Ivanovich Fuss (1755–1826) i 1792. Løser vi for x , får vi

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

Fuss-sætningen for indskrevne-omskrevne firkanter, som er analog med Eulers sætning for trekanter , siger, at hvis en firkant er bicentrisk, så er dens to tilknyttede cirkler forbundet med ovenstående formel. Faktisk gælder det omvendte også - hvis to cirkler er givet (den ene inden i den anden) med radius R og r og afstanden x mellem deres centre opfylder betingelsen for Fuss-sætningen, er der en konveks firkant indskrevet i en af cirklerne , og den anden cirkel vil blive indskrevet i firkanten [26 ] (og så er der ved Poncelets sætning uendeligt mange sådanne firkanter).

Hvis vi bruger det faktum, at vi i Fuss-sætningens udtryk opnår den allerede nævnte ulighed på en anden måde Generaliseringen af uligheden er [27] $x^{2}\geqslant 0$ $R\geqslant {\sqrt {2}}r.$

2r^{2}+x^{2}\leqslant R^{2}\leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.

Identitet Karlitz

En anden formel for afstanden x mellem centrum af den indskrevne cirkel og den omskrevne cirkel skyldes den amerikanske matematiker Leonard Karlitz (1907-1999). Formlen siger, at [28] .

\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu

hvor r og R er henholdsvis radius af den indskrevne cirkel og radius af den omskrevne cirkel , og

\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)))}={\sqrt {\ frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}

hvor a , b , c , d er siderne af den indskrevet-omskrevne firkant.

Uligheder for tangentlængder og -sider

For tangentlængder e , f , g , h gælder følgende uligheder [29] :

{\displaystyle 4r\leqslant e+f+g+h\leqslant 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

4r^{2}\leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r ^{2})

hvor r er radius af den indskrevne cirkel, R er radius af den omskrevne cirkel, og x er afstanden mellem disse cirklers centre. Siderne a , b , c , d opfylder ulighederne [27]

{\displaystyle 8r\leqslant a+b+c+d\leqslant 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).

Andre egenskaber for midten af en indskrevet cirkel

Centrum af den omskrevne cirkel , midten af den indskrevne cirkel og skæringspunktet for diagonalerne i den indskrevne-omskrevne firkant er kollineære . [tredive]

Der er følgende lighed med hensyn til de fire afstande mellem midten af incirkel I og hjørnerne af den bicentriske firkant ABCD : [31]

{\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\ frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

hvor r er radius af den indskrevne cirkel.

Hvis punktet P er skæringspunktet mellem diagonalerne i den indskrevne firkant ABCD med midten af den indskrevne cirkel I , så [32]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.

Der er en ulighed for radius r af den indskrevne cirkel og radius af den omskrevne cirkel R i den indskrevne-omskrevne firkant ABCD [33]

{\displaystyle 4r^{2}\leqslant AI\cdot CI+BI\cdot DI\leqslant 2R^{2))

hvor I er midten af den indskrevne cirkel.

Egenskaber for diagonaler

Længderne af diagonalerne i en indskrevet-omskrevet firkant kan udtrykkes i form af sider eller tangentlængder . Disse formler er gyldige for henholdsvis indskrevne firkanter og omskrevne firkanter .

I en indskrevet-omskrevet firkant med diagonalerne p og q er identiteten [34] sand :

\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1

hvor r og R er henholdsvis radius af den indskrevne cirkel og radius af den omskrevne cirkel . Denne identitet kan omskrives som [13]

r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}

eller ved at løse det som en andengradsligning i forhold til produktet af diagonalerne, får vi

pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).

Der er en ulighed for produktet af diagonaler p , q i en indskrevet-omskrevet firkant [14]

{\displaystyle \displaystyle 8pq\leqslant (a+b+c+d)^{2))

hvor a , b , c , d er sider. Uligheden blev bevist af Murray S. Klumkin i 1967.

Se også

Indskrevet-omskrevet polygon
Uomskrevet firkant

Noter

↑ 1 2 Dörrie, 1965 , s. 188-193.
↑ 12 Yun , 2008 , s. 119-121.
↑ 1 2 3 4 Eric Weisstein, Bicentric Quadrilateral at MathWorld , [1] Arkiveret 23. januar 2019 på Wayback Machine , Tilgået den 2011-08-13.
↑ 1 2 3 4 Josefsson, 2010 , s. 165-173.
↑ Alsina, Nelsen, 2011 , s. 125-126.
↑ Josefsson, 2010 , s. 129.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Josefsson, 2011 , s. 155-164.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , s. 28, 30.
↑ 12 Yiu , 1998 , s. 158-164.
↑ Lord, 2012 , s. 345-347.
↑ Josefsson, 2010 , s. 128.
↑ Josefsson, 2010a , s. 129.
↑ 1 2 3 Josefsson, 2012 , s. 237-241.
↑ 1 2 Alsina, Nelsen, 2009 , s. 64-66.
↑ 1 2 3 4 5 6 Uligheder foreslået i Crux Mathematicorum , 2007. [2] Arkiveret 27. april 2021 på Wayback Machine
↑ Josefsson, 2012 , s. 79-82.
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , s. 41.
↑ Pop, 2009 , s. 754.
↑ Radic, 2005 , s. 9-10.
↑ Hess, 2014 , s. 392-393.
↑ Radic, 2005 .
↑ Shattuck, 2018 , s. 141.
↑ Josefsson, 2012 , s. 81.
↑ Radic, 2005 , s. 13.
↑ Salazar, 2006 , s. 306-307.
↑ Byerly, 1909 , s. 123-128.
↑ 1 2 Radic, 2005 , s. 5.
↑ Calin, 2010 , s. 153-158.
↑ Radic, 2005 , s. 3.
↑ Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [3] Arkiveret 26. april 2004 på Wayback Machine , 2004.
↑ Juan Carlos Salazar, Fuss Theorem for Bicentric Quadrilateral , 2003, [4] .
↑ Crux Mathematicorum 34 (2008) nr. 4, s. 242.
↑ Indlæg på Art of Problem Solving , 2009
↑ Yiu, 1998 , s. 158-164.

Litteratur

Heinrich Dorrie. 100 store problemer med elementær matematik: deres historie og løsninger. - New York: Dover, 1965. - S. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
Eric W. Weisstein. Poncelet Transverse // MathWorld - A Wolfram Web Resource,.
Martin Josephson. Karakteriseringer af bicentriske firkanter // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 . — S. 165–173 .
Martin Josephson. Beregninger vedrørende tangentlængderne og tangens akkorder af en tangentiel firkant // Forum Geometricorum. - 2010a. - T. 10 . — S. 119–130 .
Martin Josephson. Arealet af en bicentrisk firkant // Forum Geometricorum. - 2011. - T. 11 . — S. 155–164 .
Martin Josephson. Et nyt bevis på Yuns ulighed for bicentriske firkanter // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — s. 79–82 .
Claudi Alsina, Roger Nelsen. Ikoner for matematik. En udforskning af tyve nøglebilleder. - Mathematical Association of America, 2011. - S. 125-126. - ISBN 978-0-88385-352-8 .
Nick Lord. Firkanter med arealformel // Matematisk Gazette. - 2012. - Juli ( v. 96 ). $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$
Martin Josephson. Maksimalt areal af en bicentrisk firkant // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — S. 237–241 .
Claudi Alsina, Roger Nelsen. Når mindre er mere: visualisering af grundlæggende uligheder . - Mathematical Association of America, 2009. - S. 64-66 . — ISBN 978-0-88385-342-9 .
Durell CV, Robson A. Avanceret trigonometri. - Dover, 2003.
Radic M., Kaliman Z., Kadum V. En betingelse for, at en tangentiel firkant også er en kordal. - Matematisk kommunikation, 2007. - V. 12. - S. 33–52.
Ovidiu T. Pop. Identiteter og uligheder i en firkant // Octogon Mathematical Magazine. - 2009. - Oktober ( bind 17 , nr. 2 ). - S. 754-763 .
Mirko Radic. Visse uligheder vedrørende bicentriske firkanter, sekskanter og ottekanter // Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. - 2005. - T. 6 , no. 1 .
Zhang Yun. Euler's Inequality Revisited // Matematisk spektrum. - 2008. - Maj ( vol. 40 , nr. 3 ). - S. 119-121 .
Mark Shattuck. En geometrisk ulighed for cykliske firkanter // Forum Geometricorum. - 2018. - T. 18 . - S. 141-154 .
Paul Yiu. Euklidisk geometri . - 1998. - S. 158-164.
Juan Carlos Salazar. Fuss' sætning // Matematisk Gazette. - 2006. - Juli ( bind 90 ). — S. 306–307 .
Byerly W.E. The In-and-Circumscribed Quadrilateral // The Annals of Mathematics. - 1909. - T. 10 . — S. 123–128 . - doi : 10.2307/1967103 .
Ovidiu Calin. Euklidisk og ikke-euklidisk geometri en metrisk tilgang . - 2. udgave .. - Wiley Custom Publishing, 2010. - S. 153-158.
Albrecht Hess. På en cirkel, der indeholder centrum af tangentielle firkanter // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14 . — S. 389–396 .

Indskrevet-omskrevet firkant

Særlige lejligheder

Beskrivelse

Konstruktion

Område

Formler i form af fire mængder

Formler i form af tre mængder

Uligheder

Vinkelformler

Radius af den indskrevne cirkel og radius af den omskrevne cirkel

Uligheder

Afstanden mellem midten af ​​den indskrevne cirkel og midten af ​​den omskrevne cirkel

Fuss-sætning

Identitet Karlitz

Uligheder for tangentlængder og -sider

Andre egenskaber for midten af ​​en indskrevet cirkel

Egenskaber for diagonaler

Se også

Noter

Litteratur

Afstanden mellem midten af den indskrevne cirkel og midten af den omskrevne cirkel

Andre egenskaber for midten af en indskrevet cirkel