Buket af cirkler
En buket cirkler (også kendt som en rose ) er et topologisk rum opnået ved at lime et sæt cirkler sammen omkring et enkelt punkt . Bukettens cirkler kaldes undertiden rosenblade . Buketter af cirkler er vigtige i algebraisk topologi , hvor de er tæt knyttet til frie grupper .
Definition
Buket af cirkler er et specialtilfælde af buket af rum . Det vil sige, at buket af cirkler er et kvotientrum af C / S , hvor C er den usammenhængende forening af cirkler over sættet S , der består af et punkt fra hver cirkel. Som et cellekompleks har en buket cirkler et toppunkt og en kant for hver cirkel. Dette gør det til et simpelt eksempel på en topologisk graf .
En flok af n cirkler kan også opnås ved at identificere n punkter i en cirkel. En flok af to cirkler kaldes et ottetal .
Forhold til frie grupper
Den grundlæggende gruppe i buketten af cirkler er gratis med en generator for hvert kronblad. Den universelle dækning er et uendeligt træ, som kan identificeres med Cayley-grafen for en fri gruppe. (Dette er et specialtilfælde af præsentationskomplekset forbundet med enhver gruppeopgave .)
De mellemliggende belægninger af buketten af cirkler svarer til undergrupper af den frie gruppe. Iagttagelsen af, at enhver dækning af en buket cirkler er en graf, giver et simpelt bevis på, at enhver undergruppe af en fri gruppe er fri ( Nielsen-Schreiers sætning ).
Da det universelle dække af buketten af cirkler er sammentrækbart , er buketten af cirkler et K(F,1) rum for den tilknyttede frie gruppe F . Det følger heraf, at gruppen kohomologi er triviel for .
Andre egenskaber
- Enhver forbundet graf svarer homotopisk til en buket cirkler. Især buketten af cirkler er kvotientrummet for grafen opnået ved at trække det spændende træ sammen .
- En kugle med n punkter fjernet (eller en kugle med punkter fjernet ) er en deformation, der trækkes tilbage i en flok cirkler med n kronblade. En af bukettens cirkler omgiver hvert af de fjerne punkter.
- En torus med et fjernet punkt er en deformations tilbagetrækning til et ottetal, nemlig foreningen af to genererende cirkler. Mere generelt er en overflade af slægten g med et punkt fjernet en deformation tilbagetrækning til en buket af cirkler med 2 g kronblade, nemlig ind i grænsen af den grundlæggende polygon .
- En flok cirkler kan have uendeligt mange kronblade, hvilket fører til en fundamental gruppe, der er fri på et uendeligt stort antal generatorer. En buket med et tælleligt antal cirkler ligner en hawaiiansk ørering - der er en kontinuerlig bijektion fra en buket cirkler til en hawaiiansk ørering, men de er ikke homøomorfe .
Se også
- Buket (tælle)
- Quadrifolium (quatrefoil)
- fri gruppe
- Topologisk graf
Noter
Litteratur
- Allen Hatcher. Algebraisk topologi . - Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press, 2002. - ISBN 0-521-79540-0 .
- James R. Munkres. topologi. - Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc, 2000. - ISBN 0-13-181629-2 .
- John Stillwell. Klassisk topologi og kombinatorisk gruppeteori. - Berlin: Springer-Verlag, 1993. - ISBN 0-387-97970-0 .