Andreevsky refleksion

Andreev refleksion - processen med refleksion af en elektron , der falder fra et normalt metal til grænsefladen med en superleder , hvor elektronen bliver til et hul , ændrer begge hastighedskomponenter til modsatte (under retroreflektion), og to elektroner kommer ind i superlederen (Cooper-par). Opkaldt efter Alexander Fedorovich Andreev , som teoretisk forudsagde denne type refleksion i 1964 [1] . Samtidig er der en spejl Andreev refleksion , hvor hullet ikke ændrer hastighedsprojektionen på grænsen. Denne effekt blev forudsagt af Beenacker i 2006.

Essensen af fænomenet

Grundtilstanden for elektroner i et normalt metal ved en temperatur, der nærmer sig det absolutte nulpunkt , er fyldte tilstande med energier lavere end Fermi-energien og tomme tilstande med energier over Fermi-energien. Elementære excitationer - elektroner og huller - kan have en vilkårligt lille energi. På den anden side har excitationsspektret i en superleder et bånd af forbudte energier , som kaldes det totale superledende mellemrum . Derfor er indtrængning i en superleder fra et normalt metal af en elektron eller et hul, hvis energi, regnet fra Fermi-niveauet , ligger under mellemrummet ( ), og også ligger i området af mellemrummet op til , umulig [2] . Hvis der påføres en spænding til en normal metal-superlederkontakt , således at , vil den elektriske strøm gennem kontakten på grund af den direkte overførsel af elektroner kun blive bestemt af bærere, der er termisk aktiveret over mellemrummet, og vil være eksponentielt lille. $2\Delta$ $E_F$ $\varepsilon <E_{F}-\Delta$ $\varepsilon =E_{F}+\Delta$ $V$ $eV<\Delta$

I denne situation skabes strømmen af Andreev-refleksionsprocessen. En elektron, der falder ind på grænsen, kan reflekteres fra superlederens overflade og blive til et hul med samme excitationsenergi. Da hullets ladning er modsat ladningen af elektronen, overføres der under Andreev-refleksion, ifølge loven om bevarelse af ladning, en ladning svarende til det dobbelte af elektronens ladning til superlederen og danner et Cooper-par der [2] . Således fordobles strømmen gennem NS-kontakten tilnærmelsesvis, hvilket udtrykkes på kontaktens strøm-spændingskarakteristik som en lineær sektion med dobbelt hældning ved lave spændinger . Ved går strøm-spændingskarakteristikken lineært langs den ohmske lov. $|eV|<\Delta$ $|eV|>\Delta$

I det enkleste tilfælde af et isotropt metal uden magnetfelt og magnetisk struktur og en superleder med s-parring, forløber processen som følger. Med Andreev-refleksion bevares excitationsenergien, det vil sige, at kvasipartikelen passerer fra elektrongrenen i excitationsspektret til hulgrenen med samme energi. I dette tilfælde adskiller elektronmomentum sig noget fra hulmomentum, men ændringen i momentum er ubetydelig sammenlignet med Fermi-momentum i tilfælde af metaller, hvor Fermi-energien er høj. Imidlertid er gruppehastigheden af et hul (hvor og betegner kvasipartiklers energi og momentum) modsat gruppehastigheden for en elektron [3] . Derfor bevæger hullet sig i koordinatrummet langs elektronens bane, men i den modsatte retning ( engelsk retroreflektion ). Med andre ord, under Andreev-refleksion vender kvasipartiklerne begge hastighedskomponenter (i almindelig refleksion er det kun den normale komponent, der skifter fortegn). Da spins af de to elektroner i et Cooper-par er modsatte, er spins af elektronen og hullet også modsatte. ${\vec {v}}=\partial \varepsilon /\partial {\vec {p}}$ $\varepsilon$ ${\vec {p}}$

Teoretisk beskrivelse

De fleste af de teoretiske metoder, der bruges til at beskrive Andreev-refleksionen, er baseret på Greens funktionsmetode . Da beskrivelsen baseret på Greenens funktioner er besværlig for superledere, anvendes den semiklassiske tilnærmelse - Eilenberger-ligningerne for rene systemer og Usadel-ligningerne i det tilfælde, hvor urenhedskoncentrationen er høj nok [4] . For de fleste problemer er det dog muligt at forenkle formalismen yderligere og bruge de intuitive Bogolyubov-de Gennes-ligninger , som blot er en generalisering af Schrödinger-ligningen til tilfældet med et system, der indeholder både elektroner og huller.

BTK-teorien [5] bruger den sidste tilnærmelse til at finde strøm-spændingskarakteristika gennem en metal-superlederkontakt. Teorien betragter et endimensionelt problem for rene materialer, hvor partikelbølgevektoren er et godt kvantetal og har én fri parameter: barrierehøjden ved grænsen. Bogolyubov-de Gennes-ligningen for en superleder er skrevet som

{\begin{pmatrix}{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+G\delta (x)-\mu &\Delta \\\Delta ^{*} &\mu -{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-G\delta (x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\v\end{ pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

hvor er den reducerede Planck-konstant , m er elektronmassen, k er partiklens bølgevektor, μ er det kemiske potentiale , Δ =Δ 0 e iφ er det superledende mellemrum, φ er superlederens fase, u og v er elektron- og hulbølgefunktionerne , G δ ( x) er en deltafunktion med amplitude G . Energiegenværdierne ε findes ud fra den karakteristiske ligning $\hbar$

\varepsilon ^{2}=\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}+\Delta ^{2}

Figuren viser spredningsforholdene for et metal og en superleder [6] .

Af de to løsninger til denne ligning, betragtes kun positiv energi. Så for et metal, hvor Δ = 0, er der fire bølgevektorer (for ε < μ) svarende til planløsninger for plane bølger . Tabellen viser alle løsninger af ligningen. For elektroner bruges indekset "e", og for huller med positiv energi, det vil sige fra ledningsbåndet , indekset "h". I tilfælde af en superleder, når |Δ| > 0, skal der skelnes mellem to tilfælde. Når energien ε > |Δ|, så er der løsninger i form af plane bølger. Det andet tilfælde svarer til tilstanden ε < |Δ|, når der er løsninger i form af dæmpede bølger svarende til den velkendte effekt af subbarriere- tunneling i kvantemekanikken.

Løsning af Bogolyubov-de Gennes-ligningen

Parameter	Metal	Superleder ε > Δ 0	Superleder ε < Δ 0
Bølgevektorer for elektroner	$\hbar k_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +\varepsilon }}$	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu +{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{e}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu +i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , e< Δ0
Bølgevektorer til huller	$\hbar k_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu -\varepsilon ))$	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m}}{\sqrt {\mu -{\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{ 2}}}}}$ , ε > ∆0	$\hbar q_{\pm }^{h}=\pm {\sqrt {2m)){\sqrt {\mu -i{\sqrt {\Delta _{0}^{2}-\varepsilon ^ {2}}}}}$ , e< Δ0
Elektroniske bølgefunktioner	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}\\0\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$	$\Psi _{\pm }^{e}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{e}x}$
Hulbølgefunktioner	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}0\\v_{0}\end{pmatrix}}e^{\pm ik_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$	$\Psi _{\pm }^{h}={\begin{pmatrix}u_{0}e^{i\phi /2}\\v_{0}e^{-i\phi /2} \end{pmatrix}}e^{\pm iq_{h}x}$
Elektroniske amplituder	$u_{0}=1$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$	$u_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}$
Hulamplituder	$v_{0}=1$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {1}{2}}{\textrm {arccosh}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$	$v_{0}={\sqrt {\frac {\Delta _{0}}{2\varepsilon }}}e^{-{\frac {i}{2}}{\textrm {arccos}} {\frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))$

Hvis vi nu bruger standardteorien for spredningsmatrixen i det endimensionelle tilfælde, hvor de indfaldende, reflekterede og transmitterede bølger er skrevet i ovenstående form, så kan vi få ligninger for refleksions- og transmissionskoefficienterne ved at bruge betingelserne for kontinuitet af bølgefunktionen ved grænsen og springbetingelsen for den afledede ved grænsen i tilfældet, hvor der tilføjes et deltapotentiale af vilkårlig højde. For udledningen er der også en betingelse for gruppehastigheden , således at sandsynlighedsstrømmen overføres i henhold til definitionen for de indfaldende, reflekterede og transmitterede bølger, og kun én indfaldende bølge for en elektron regnes med, og resten er spredt. . Gruppehastigheder er forskellige for metal v e/h og superleder w e/h

v_{e/h}={\frac {\hbar k_{e/h}}{m}}

w_{e/h}={\frac {\sqrt {\varepsilon ^{2}-\Delta _{0}^{2}}}{\varepsilon }}v_{e/h}

Desuden kan det ses, at i en superleder nærmer gruppehastigheden sig nul, når energien nærmer sig spaltebredden. I tilfælde af Andreev-refleksion, når Fermi-niveauet er meget større end energien af partiklerne og mellemrummet, skrives sprednings- (refleksion og transmission) amplituder i formen

r_{he}={\frac {u_{0}v_{0}}{u_{0}^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0} ^{2})}}e^{-i\phi }

r_{ee}={\frac {(Z^{2}-iZ)(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}{u_{0}^{2} +Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}

t_{ee}={\frac {(1-iZ)u_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0} ^{2}+Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

t_{he}={\frac {iZv_{0}{\sqrt {u_{0}^{2}-v_{0}^{2)))){u_{0}^{2}+ Z^{2}(u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}e^{-i\phi /2}

hvor er en parameter, der bestemmer barrierens gennemsigtighed. De tilsvarende sandsynligheder vil være i form af kvadrater af amplitudemoduler. En fuldstændig gennemsigtig barriere vil føre til nulstilling af processen e → e , dvs. der vil ikke være nogen refleksion af elektronen, mens for processen e → h vil følgende udtryk fås ε < Δ 0 ${\displaystyle Z=Gm/\hbar ^{2}k_{F))$

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -i{\textrm {arccos}}{ \frac {\varepsilon }{\Delta _{0}}}}

og den tilsvarende sandsynlighed vil være lig med 1. Ved høje energier ε > Δ 0 vil amplituden falde med stigende energi

r_{he}={\frac {v_{0}}{u_{0}}}e^{-i\phi }=e^{-i\phi -{\textrm {arccosh}}{\ frac {\varepsilon }{\Delta _{0))))

Andreevs ledningsevne

Usædvanlig Andreevs refleksion

Grænse normalt metal - ferromagnet

Superleder med d-parring

Grafen

Bogolyubov-de Gennes-ligningen for en superleder har formen [7]

{\begin{pmatrix}H-E_{F}&\Delta \\\Delta ^{*}&E_{F}-\Theta H\Theta ^{-1}\end{pmatrix)){\begin {pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}=\varepsilon {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}

hvor H er Hamilton for én partikel, EF er Fermi-niveauet , Δ er energigabet eller ordensparameteren , u og v er elektron- og hulbølgefunktionerne , Θ er tidsinversionsoperatoren, som introduceres af denne relation

\Theta ={\begin{pmatrix}0&\sigma _{z}\\\sigma _{z}&0\end{pmatrix}}C=\Theta ^{-1}

hvor C er kompleks konjugation . Så ε > 0 er den positive energi af kvasipartikler regnet fra Fermi-niveauet. I tilfælde af en normaltilstand er ligningerne for elektroner og huller adskilt, og løsningerne er uafhængige og symmetriske i energi. Når interaktionen mellem elektron- og hulkomponenterne tændes ved hjælp af parpotentialet Δ, dannes bundne tilstande af elektroner og huller. Uden en specifik form for en-partikel Hamiltonian kan Bogolyubov-de Gennes-ligningen anvendes på enhver spredningslov. I tilfældet med grafen, med dets lineære forhold mellem energi og bølgevektor, tager Hamiltonian formen

H={\begin{pmatrix}H_{+}&0\\0&H_{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i\hbar v_{F}(\sigma _{x} \partial _{x}+\sigma _{y}\partial _{y})+U&0\\0&-i\hbar v_{F}(\sigma _{x}\partial _{x}-\sigma _ {y}\partial _{y})+U\end{pmatrix}}

σ x , σ y , σ z er Pauli-matricerne , der ikke virker i spin-rummet, men i rummet af subgitter, også kaldet pseudospin, v F er Fermi-hastigheden, U er den potentielle energi, som er negativ i regionen under superlederen, | k | 2 = k x 2 + k y 2 er kvadratet af bølgevektoren. Ved at erstatte denne Hamiltonian i Bogolyubov-de Gennes-ligningen får vi et system med otte differentialligninger med bølgefunktioner . Dette system opdeles i to systemer med fire ligninger hver, hvilket fører til Dirac-Bogolyubov-de Gennes-ligningerne med spredningsrelationen ${\displaystyle u=(\Psi _{A+},\Psi _{B+},\Psi _{A-},\Psi _{B-})^{T))$ $v=(\Psi _{A-}^{*},-\Psi _{B-}^{*},\Psi _{A+}^{*},-\Psi _{B+}^ {*})^{T}$

\varepsilon ={\sqrt {|\Delta |^{2}+(E_{F}-U\pm \hbar v_{F}|{\textbf {k}}|)^{2}}}

Ved udledning af Bogolyubov-de Gennes-ligningen blev middelfelttilnærmelsen taget i betragtning, hvor kohærenslængden af superlederen er meget større end Fermi-længden i superlederen , men forholdet mellem disse størrelser for en superleder og et normalt metal har ingen begrænsninger, og to begrænsende tilfælde er mulige, når og . Disse to tilfælde er fundamentalt forskellige: hvis elektronenergien er , så ved , observeres den sædvanlige Andreev-refleksion, og ved , opstår der en spejl-Andreev-refleksion, når det reflekterede hul bevarer hastighedsprojektionen på grænsen. For grafen er der heller ingen refleksion, når elektroner normalt falder ind på superleder-metal-grænsefladen for enhver forskel i Fermi-niveauer på grund af bevarelsen af chiralitet , i modsætning til normalt metal, hvor der findes refleksion. ${\displaystyle \xi =\hbar v_{F}/|\Delta |\gg \lambda _{F}^{s))$ ${\displaystyle \xi \gg \lambda _{F}^{n))$ ${\displaystyle \xi \ll \lambda _{F}^{n))$ $\varepsilon <|\Delta |$ $E_{F}\gg |\Delta |$ $E_{F}\ll |\Delta |$

Kontakt superleder - isolator med høj gennemsigtighed - superleder

Når to superledere er svagt koblede, såsom i en superleder-isolator-superleder (SIS) struktur, kan superstrøm flyde på grund af Josephson-effekten , som opstår på grund af den faste faseforskel af bølgefunktionerne af strømbærerne i de to superledere på tværs af det normale metalmellemlag [8] [9] . En sådan enhedsstruktur er kendt som en Josephson-forbindelse, og den maksimale mængde overstrøm, der strømmer gennem krydset, er defineret som den kritiske Josephson-strøm , Ic . I de reneste konventionelle metalforbindelser er produktet af overstrøm og modstand i normaltilstanden en konstant værdi, der er proportional med størrelsen af BCS -superledende mellemrum - 2Δ , det vil sige , hvor Ic er Josephsons kritiske strøm , og Rn er metalets modstand i normal tilstand ( formel Ambegaokara - Baratov ). Produktet I c R n afhænger ikke af prøvens geometri, da de samme geometriafhængige parametre selvdestruerer i udtrykkene for I c og R n . Interessant nok opstår et nyt mesoskopisk regime, når bredden, w , af en normal leder krymper for at blive sammenlignelig med Fermi-bølgelængden , λ F , af ladningsbærere, og dens ledningsevne i normal tilstand bliver kvantiseret i enheder af e²/h, hvor e er elektronladningen , og h er Plancks konstant , svagt afhængig af de begrænsninger, der er pålagt værdien af kanallængden, som skyldes dannelsen af endimensionelle underzoner [10] [11] . Det blev forudsagt [12] at det universelle produkt I c R n =πΔ/2e også spiller en vigtig rolle i korte Josephson-forbindelser med diskrete tværgående tilstande, hvor hver af de N-tilstande danner et selvstændigt niveau forbundet med Andreev-refleksionen og bidrager ligeligt. til total overstrøm [13] . Således er Ic =2πNeΔ/h, selvom et sådant regime ikke er blevet opnået eksperimentelt [14] [15] . I de fleste tidligere undersøgelser af SIS-sandwichstrukturer er konventionelle metaller blevet brugt til at danne krydsene. I disse overgange er det vanskeligt at opnå et regime, hvor w ~λ F , da det er ønskeligt at realisere en stabil og kontrolleret overgang flere atomlag brede [16] . Denne begrænsning kan overvindes ved brug af halvledere på grund af tilstedeværelsen i dem af en lav tæthed af ladningsbærere og følgelig en stor Fermi-bølgelængde, da λ F =2π/k F =(2π/p 2D ) 1/2 , hvor k F er Fermi-bølgevektoren , og p 2D er den todimensionelle koncentration af huller i brønden. $I_{c}R_{n}=\pi \Delta /2e$

Bundne tilstande og Josephson-effekten

Flere St. Andrew's Reflection

Andreevskaya interferometri

Noter

↑ Andreev A. F. // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - M. , 1964. - T. 46 . - S. 1823 .
↑ 1 2 Nazarov & Blanter, 2009 , s. 98.
↑ Nazarov & Blanter, 2009 , s. 98-99.
↑ A. V. Svidzinsky. Rumligt inhomogene problemer i teorien om superledning . - Nauka (Moskva), 1982. - S. 141 -157. — ISBN 9780521832465 .. (Russisk)
↑ G.E. Blonder, M. Tinkham og T.M. Klapwijk. Overgang fra metalliske til tunnelsystemer i superledende mikrokonstriktioner: Overskydende strøm, ladningsubalance og superstrømkonvertering // Fysisk . Rev. B. - 1982. - Vol. 25 . — S. 4515 . - doi : 10.1103/PhysRevB.25.4515 .
↑ Dolcini F. Andreev Refleksion // Forelæsningsnoter til XXIII Fysik GradDays. — 2009. (utilgængeligt link)
↑ Beenakker CWJ Spekulær Andreev-refleksion i grafen // Phys . Rev. Lett.. - 2006. - Vol. 97 . — P. 067007 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.97.067007 .
↑ Tinkham M. Introduktion til superledning. — Dover New York, 1996.
↑ Likharev KK Superledende svage led // Rev. Mod. Phys.. - 1979. - T. 51 . - S. 101 .
↑ Thornton TJ, Pepper M., Ahmed H., Andrews D., Davis GJ Endimensionel ledning i 2D elektrongassen af en GaAs-AlGaAs heterojunction // Phys. Rev. bogstaver. - 1986. - T. 56 . - S. 1198 .
↑ van Wees BJ, van Houten H., Beenakker CWJ, Williamoson JG, Kouwenhowen D., van der Marel, Foxon CWJ Quantized conductance of point contact in two dimentional electron gas // Phys. Rev. bogstaver. - 1988. - T. 60 . - S. 848 .
↑ Beenakker CWJ, van Houten H. Josephson strøm gennem en superledende kvantepunktkontakt kortere end kohærenslængden // Phys. Rev. bogstaver. - 1991. - T. 66 . - S. 3056 .
↑ Klapwijk TM Proximity-effekt fra et Andreev-perspektiv //Journal of Superconductivity Incorporating Novel Magnetism. - 2004. - T. 17 . - S. 593 .
↑ Takayanagi H., Akazaki T., Nitta J. Observation af maksimal superstrømkvantisering i en superledende kvantepunktkontakt. — Fysisk. Rev. Breve, 1995. - T. 75 . - S. 3533 .
↑ Bauch T., Hurfeld E., Krasnov VM, Delsing P., Takayanagi H., Akazaki T. Korreleret kvantisering af superstrøm og konduktans i en superledende kvantepunktkontakt // Phys. Rev. B. - 2005. - T. 71 . - S. 174502 .
↑ Muller CJ, Vanruitenbeek JM, De Jongh LJ Conductance and supercurrent discountinuities in atomic-scale metallic constrictions of variable width // Phys. Rev. bogstaver. - 1992. - T. 69 . - S. 140 .

Litteratur

Yuli V. Nazarov og Yaroslav M. Blanter. Kvantetransport: Introduktion til nanovidenskab . - Cambridge University Press (Cambridge), 2009. - S. 98-114 . — ISBN 9780521832465 .