Peanos aksiomer

Peano-aksiomerne er et af systemerne af aksiomer for naturlige tal , som blev indført i 1889 af den italienske matematiker Giuseppe Peano .

Peanos aksiomer gjorde det muligt at formalisere aritmetik , at bevise mange egenskaber ved naturlige tal og heltal , og også at bruge heltal til at konstruere formelle teorier om rationelle og reelle tal . I en forkortet form er Peanos aksiomer blevet brugt i en række metamatematiske udviklinger, herunder løsningen af grundlæggende spørgsmål om talteoriens konsistens og fuldstændighed .

Peano postulerede oprindeligt ni aksiomer. Den første hævder eksistensen af mindst ét element i sættet af tal. De næste fire er generelle udsagn om lighed , der afspejler aksiomatikkens indre logik og udelukket fra den moderne sammensætning af aksiomer som indlysende. De næste tre er aksiomer i førsteordenslogikkens sprog om at udtrykke naturlige tal i form af konsekvensfunktionens fundamentale egenskab . Det niende og sidste aksiom i andenordenslogikkens sprog handler om princippet om matematisk induktion over en række naturlige tal. Peano-aritmetik er et system opnået ved at erstatte induktionsaksiomet med et system af aksiomer i førsteordenslogikkens sprog og tilføje symboler for operationerne addition og multiplikation.

Formuleringer

Verbal

1 er et naturligt tal;
Tallet efter det naturlige er også et naturligt;
1 følger ikke noget naturligt tal;
Hvis et naturligt tal følger direkte efter både tallet og tallet , så er og identiske; $-en$ $b$ $c$ $b$ $c$
(Axiom for induktion .) Hvis en antagelse er bevist for 1 (induktionsgrundlag), og hvis antagelsen om, at det er sandt for et naturligt tal , følger, at det er sandt for det næste naturlige tal (induktiv antagelse), så er denne antagelse sand for alle naturlige tal. $n$ $n$

Matematisk

Den matematiske formulering bruger følgefunktionen , som matcher et tal med det tal , der følger efter det. $S(x)$ $x$

$1\i\mathbb{N}$ ;
$x\in {\mathbb {N}}\Rightarrow S(x)\in {\mathbb {N}}$ ;
${\displaystyle \neksisterer x\i \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )))$ ;
${\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c$ ;
${\displaystyle P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )))$ .

En anden form for skrivning er også mulig:

$1\i\mathbb{N}$ ;
$S\colon {\mathbb {N}}\til {\mathbb {N}}\setminus \{1\}$ ;
$\eksisterer S^{{-1}}$ ;
$1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \ delmængde M$ .

Det sidste udsagn kan formuleres som følger: hvis et bestemt udsagn er sandt for (induktionsgrundlag) og for enhver af gyldigheden følger gyldigheden af og (induktiv antagelse), så er det sandt for enhver naturlig . $P$ $n=1$ $n$ $P(n)$ $P(S(n))$ $P(n)$ $n$

Formalisering af aritmetik

Formaliseringen af aritmetik inkluderer Peanos aksiomer og introducerer også operationerne til addition og multiplikation ved hjælp af følgende aksiomer:

$x+1=S(x)$ ;
$x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})$ ;
$x\cdot 1=x$ ;
${\displaystyle x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1))$ .

Om ufuldstændighed

Som antydet af Gödels ufuldstændighedssætning , er der udsagn om de naturlige tal, der hverken kan bevises eller modbevises ud fra Peanos aksiomer. Nogle af disse udsagn har en ret simpel formulering, såsom Goodstein -sætningen eller Paris-Harrington-sætningen .

Kategorisk

Det grundlæggende faktum er, at disse aksiomer i det væsentlige entydigt bestemmer de naturlige tal (den kategoriske karakter af systemet af Peanos aksiomer). Man kan nemlig bevise (se [1] , samt et kort bevis [2] ), at hvis og er to modeller for systemet af Peanos aksiomer, så er de nødvendigvis isomorfe , det vil sige, at der eksisterer en invertibel mapping ( bijektion ) sådan og for alle . $(\mathbb N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb N$

Derfor er det tilstrækkeligt at fastlægge en specifik model af sættet af naturlige tal. $\mathbb {N}$

For eksempel følger det af induktionsaksiomet, at det er muligt at gå over til et hvilket som helst naturligt tal fra i et endeligt antal trin (ved hjælp af funktionen ). Til beviset vil vi som prædikat vælge selve udsagnet "man kan gå til et tal fra i et begrænset antal trin ved hjælp af funktionen ". Højre . Dette er også sandt , da det kan opnås fra ved en enkelt anvendelse af operationen til et tal, som ved antagelse kan opnås fra efter et begrænset antal applikationer . Ifølge aksiomet for induktion . $en$ $S$ $P(n)$ $n$ $en$ $S$ $P(1)$ ${\displaystyle {\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )))$ $S(n)$ $n$ $S$ $P(n)$ $en$ $S$ $\forall n(P(n))$

Historie

Behovet for at formalisere aritmetik blev ikke taget alvorligt, før Hermann Grassmann , som viste i 1860'erne, at mange fakta i aritmetik kunne fastslås ud fra mere elementære fakta om implikationsfunktionen og matematisk induktion. I 1881 udgav Charles Sanders Peirce sin aksiomatisering af naturlig talaritmetik. Den formelle definition af naturlige tal blev formuleret i 1889 af den italienske matematiker Peano , baseret på Grassmanns tidligere konstruktioner, i hans bog The Foundations of Arithmetic, Stated in a New Way ( lat. Arithmetices principia, nova methodo exposita ). I 1888 (et år før Peano) udgav Dedekind [3] et næsten nøjagtigt lignende aksiomatisk system . Konsistensen af Peano-aritmetik blev bevist i 1936 Gentzen transfinit til ordinal . Som det følger af Gödels anden ufuldstændighedssætning , kan dette bevis ikke udføres ved hjælp af Peano-aritmetikken selv. $\epsilon_{0}.$

Noter

↑ Feferman S. Numeriske systemer. Grundlaget for algebra og analyse. - 1971. - 445 s.
↑ Bevis for det unikke ved naturlige tal . Dato for adgang: 4. februar 2011. Arkiveret fra originalen 22. august 2011. (ubestemt)
↑ N. Bourbaki . Grundlaget for matematik. Logikker. Mængdeori // Essays om matematikkens historie / I. G. Bashmakova (oversat fra fransk). - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1963. - S. 37. - 292 s. — (Matematikelementer).

Litteratur

Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita . Bocca, Torino, 1889.
Peano, G. Formulaire de matematiques. Tome II - nr. 2. Bocca, Torino, 1897.
Arnold IV Teoretisk aritmetik . M.: Uchpedgiz, 1938.