Metamatematik
Metamatematik er en gren af matematisk logik , der studerer grundlaget for matematik , strukturen af matematiske beviser og matematiske teorier ved hjælp af formelle metoder . Udtrykket metamatematik betyder bogstaveligt talt "ud over matematik".
I ordets brede forstand er metamatematik en metateori af matematik, der ikke indebærer nogen særlige begrænsninger for arten af de anvendte metateoretiske metoder, på metoden til at specificere og omfanget af den "matematik", der studeres i den.
Grundlæggende information
Metamatematik betragter en formaliseret teori som et sæt af visse endelige sekvenser af symboler kaldet formler og termer, hvortil der tilføjes et sæt operationer udført på disse sekvenser. Formler og udtryk opnået ved hjælp af enkle regler tjener som erstatning for sætninger og funktioner i meningsfuld matematisk teori. Operationer på formler svarer til elementære deduktionstrin i matematisk ræsonnement. Formler svarende til en indholdsteoris aksiomer fungerer som aksiomer for en formaliseret teori. De formler, der kan udledes af aksiomerne ved hjælp af de accepterede operationer, svarer til indholdsteoriens sætninger. Sættet af formler og termsættet, betragtet som sæt af endelige sekvenser med operationer, kan til gengæld være objekter for matematisk forskning.
Udviklingen af metamatematik
I den tidlige periode af udviklingen af matematisk logik blev for det meste simple metoder brugt, alle ikke-endelige blev udelukket. Lederen af denne retning var D. Hilbert , som mente, at metamatematikken ved hjælp af simple metoder ville være i stand til at bevise konsistensen af grundlæggende matematiske teorier. K. Gödels sætninger viste imidlertid, at Hilberts program ikke er gennemførligt. Brugen af endelige metoder til studiet af formaliserede teorier er naturlig på grund af deres åbenlyse endelige karakter. Men i praksis komplicerer det i høj grad matematisk forskning at begrænse bevismetoderne til elementære metoder. Derfor, for en dybere indtrængen i essensen af formaliserede teorier, bruger moderne metamatematik i vid udstrækning mere komplekse, ikke-endelige metoder. Sæt af udtryk for enhver formaliseret teori er en algebra, og sættet af alle formler er også en algebra. Efter den naturlige identifikation af ækvivalente formler bliver sættet af alle formler til et gitter (struktur), nemlig boolsk algebra, pseudo-boolsk algebra, topologisk boolsk algebra osv., afhængigt af typen af logik, der er vedtaget i teorien. Disse algebraer er til gengæld relateret til forestillingen om et felt af mængder og et topologisk rum. Fra dette synspunkt forekommer det naturligt at bruge metoderne fra algebra, gitterteori (strukturer), mængdelære og topologi i metamatematikken. Gödels aritmetiseringsmetode og teorien om rekursive funktioner er også meget brugt.
Gödels sætninger kunne opfattes som "slutningen", men som vidner om begrænsningerne af finitisme, formalisme og Hilbert-programmet forbundet med dem, såvel som den aksiomatiske metode generelt, tjente disse sætninger på samme tid som en stærk stimulans for søgen efter bevismidler (især beviser for konsistens ) stærkere end de endelige, men også konstruktive i en vis forstand. En af disse metoder var transfinit induktion til den første uopnåelige konstruktive transfinit. Denne vej gjorde det muligt at opnå et bevis på aritmetikkens konsistens (G. Gentsen, V. Ackerman, P. S. Novikov, K. Schütte, P. Lorenzen m.fl.). Et andet eksempel er det ultra-intuitionistiske program til grundlaget for matematik, som gjorde det muligt at opnå et absolut (uden at bruge reduktion til noget andet system) bevis på sammenhængen i det mængdeteoretiske system af Zermelo-Fraenkel-aksiomer .
Mål og mål
Metamatematik udforsker følgende spørgsmål:
- konsistens og fuldstændighed af formaliserede teorier;
- aksiom uafhængighed;
- løselighedsproblem;
- spørgsmål om definerbarhed og fordybelse af nogle teorier i andre;
- giver en præcis definition af begrebet bevis for forskellige formaliserede teorier og beviser deduktionssætninger;
- studerer problemerne med fortolkning af formelle systemer og deres forskellige modeller;
- etablerer forskellige relationer mellem formaliserede teorier.
Metamatematikkens emne og metode
Faget metamamatematik består i en sådan abstraktion af matematik, når matematiske teorier erstattes af formelle systemer, beviser - af nogle sekvenser af velkendte formler, definitioner - af "forkortede udtryk", der er "teoretisk valgfrie, men typografisk bekvemme".
En sådan abstraktion blev opfundet af Hilbert for at opnå en kraftfuld teknik til at studere problemerne i matematikkens metodologi. Samtidig er der problemer, der falder uden for rammerne af metamatematisk abstraktion. Blandt dem er alle problemer relateret til "meningsfuld" matematik og dens udvikling, og alle problemer relateret til situationel logik og løsning af matematiske problemer.
Metoden er matematisk logik .
Se også
- Axiomatik af mængdelære
- Dedekind afsnit
- Godels fuldstændighedssætning
- Godels ufuldstændighedssætning
Litteratur
- Gastev Y. Metamatematik. - Stor sovjetisk encyklopædi .
- Hilbert D. Fundamenter for geometri. - M. - L. : GITTL, 1948. - 491 s.
- Engeler E. Elementær matematiks metamatematik. — M .: Mir, 1987. — 128 s.
- Kleene S. K. Introduktion til metamatematik / Pr. fra engelsk. - M . : Udenlandsk litteratur, 1957. - 526 s.
- Curry H. B. Fundamenter for matematisk logik / pr. fra engelsk. - M. , 1969. - kap. 2-3 sek.
- Gentsen G. Konsistens af ren talteori / pr. med ham .. - M. , 1967. - s. 77-153 s.
- Tarsky A. Introduktion til deduktive videnskabers logik og metodologi / overs. fra engelsk. - M. , 1948.
Links
- Lakatos I. Beviser og afvisninger: Hvordan teoremer bevises.
- Godels sætninger
- Metamathematics - artikel fra Great Soviet Encyclopedia .
- Metateori som et hierarki af teorier ifølge V. F. Turchin
 Ordbøger og encyklopædier | |
|---|---|
| I bibliografiske kataloger |