Z-transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. marts 2020; checks kræver 6 redigeringer .

Z-transform ( Laurent transform ) er foldningen af det oprindelige signal, givet af en sekvens af reelle tal i tidsdomænet, til en analytisk funktion af den komplekse frekvens. Hvis signalet repræsenterer impulssvaret af et lineært system , så viser Z-transformationskoefficienterne systemets reaktion på komplekse eksponentialer , det vil sige på harmoniske svingninger med forskellige frekvenser og stignings-/henfaldshastigheder. $E(n)=z^{{-n}}=r^{{-n}}e^{{-i\omega n}}$

Definition

Z-transformationen kan, ligesom mange integraltransformationer, specificeres som ensidet og tosidet .

To-vejs Z-transform

Den tosidede Z-transformation af et diskret tidssignal er givet ved: $X(z)$ $x[n]$

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

hvor er et heltal og er et komplekst tal. $n$ $z$

z=Ae^{{j\varphi }},

hvor er amplituden og er vinkelfrekvensen (i radianer pr. prøve) $EN$ $\varphi$

Envejs Z-transform

I tilfælde hvor det kun er defineret for , er den ensidede Z-transform givet af: $x[n]$ $n\geqslant 0$

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

Invers Z-transform

Den omvendte Z-transform er f.eks. defineret som følger:

x[n]=Z^{{-1}}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{{C}}X(z)z ^{{n-1}}\,dz,

hvor er konturen, der omslutter konvergensområdet . Konturen skal indeholde alle rester . $C$ $X(z)$ $X(z)$

Indsætter vi den foregående formel , får vi en tilsvarende definition: $z=re^{{j\varphi }}$ $x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{\pi}X(re^{{j\varphi }}) e^{{jn\varphi }}\,d\varphi .$

Konvergensregion

Konvergensområdet er et bestemt sæt punkter på det komplekse plan , hvor der er en endelig grænse for rækken: $D$

D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const <\infty\right\}.

Eksempel 1 (ingen region med konvergens)

Lad . Udvidelse af intervallet , får vi $x[n]=0{,}5^{n}$ $x[n]$ $(-\infty ,\;\infty )$

x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1 };\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ; \;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,} 5^{3};\;\ldots\}.

Lad os se på beløbet:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .

Derfor er der ingen sådanne værdier , der ville opfylde konvergensbetingelsen. $z$

Forholdet til Laplace-transformationen

Den bilineære transformation kan bruges til at transformere kontinuerlig tid, for eksempel, når man analytisk beskriver lineære filtre repræsenteret af Laplace-transformationen til diskrete tidsprøver med en periode repræsenteret i z-domænet og omvendt. Denne transformation bruger en variabel substitution: $T,$

s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1))).

Den omvendte overgang fra z-transformen til Laplace-transformationen udføres ved en lignende ændring af variabel:

z={\frac {2+sT}{2-sT)).

Den bilineære transformation kortlægger det komplekse s-plan af Laplace-transformationen til det komplekse z-plan af z-transformationen. Denne afbildning er ikke-lineær og er karakteriseret ved, at den afbilder s-planets akse til enhedscirklen i z-planet. $s=\sigma +j\omega$ $j\omega$

Således går Fourier-transformationen , som er Laplace-transformationen af en variabel , ind i en diskret-tids-Fourier-transformation. Det antages, at Fourier-transformationen eksisterer, det vil sige, at aksen er i konvergensområdet for Laplace-transformationen. $j\omega$ $j\omega$

Tabel over nogle Z-transformer

Betegnelser:

$\theta [n]=\venstre\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{array}}\right.$ er Heaviside-funktionen .
$\delta[n]=1$ for , og for alle andre er n en delta-sekvens (ikke at forveksle med Kronecker-delta-symbolet og Dirac-delta-funktionen). $n=0$ $\delta[n]=0$

	Signal, $x[n]$	Z-transform, $X(z)$	Konvergens område
en	$\delta[n]$	$en$	$\forall z$
2	$\delta[n-n_{0}]$	${\frac {1}{z^{{n_{0))))}$	$z\neq 0$
3	$\theta[n]$	${\frac {z}{z-1}}$	$\|z\|>1$
fire	$a^{n}\theta[n]$	${\frac {1}{1-az^{{-1))))$	$\|z\|>\|a\|$
5	$na^{n}\theta[n]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|>\|a\|$
6	$-a^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{{-1))))$	$\|z\|<\|a\|$
7	$-na^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|<\|a\|$
otte	$\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-z^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{ {-2}}}}$	$\|z\|>1$
9	$\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {z^{{-1}}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{- 2}}}}$	$\|z\|>1$
ti	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-az^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{{-1}}\cos(\omega _{0})+a^{ 2}z^{{-2}}}}$	$\|z\|>\|a\|$
elleve	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z ^{-2}}}$	$\|z\|>\|a\|$

Se også

Links

Weisstein, Eric W. Z-Transform (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .
Döch G. Guide til den praktiske anvendelse af Laplace-transformationen og Z-transformen. Med anvendelse af tabeller udarbejdet af R. Herschel: Per. fra tysk. Serie: Fysisk-matematisk bibliotek af en ingeniør. 1971. 288 s.

Digital signalbehandling
Teori	Signal diskret signal Kotelnikovs teorem Teori om statistiske skøn Signaldetektionsteori
Underafsnit	Digital lydsignalbehandling Teori om automatisk kontrol Digital billedbehandling Talebehandling Statistisk signalbehandling
Teknikker	Diskret Fourier Transform (DFT) Time Discrete Fourier Transform (DTFT) Impulsresponsinvarians Bilineær transformation Konsistent Z-transformation Modificeret Z-transform
Prøveudtagning	Supersampling subsampling Reducer opløsning Forøgelse af opløsning Aliasing filter Sampling frekvens Nyquist frekvens