R funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. maj 2016; checks kræver 5 redigeringer .

R-funktion ( Rvachev -funktion ) - en numerisk funktion af reelle variabler, hvis fortegn er fuldstændigt bestemt af fortegnene på dens argumenter med den tilsvarende opdeling af den numeriske akse i intervaller og . R-funktioner blev først introduceret i V. L. Rvachevs værker [1] [2] [3] . I modsætning til klassisk analytisk geometri omhandler teorien om R-funktioner syntese af problemer og ligninger med kendte egenskaber. [fire] $(-\infty,0)$ $[0,\infty)$

For at studere R-funktioner skal man ikke kun kende klassisk analytisk geometri, men også mængdelære.

Definition

En numerisk funktion kaldes en R-funktion, hvis der findes en ledsagende boolsk funktion med det samme antal argumenter som $z=z(x,\;y)$ $\phi\;$

\mathrm{tegn}(z)=\Phi(\mathrm{tegn}(x),\; \mathrm{tegn}(y)).

Begrebet en R-funktion introduceres på samme måde for antallet af argumenter $n\;>\;2.$

Hver R-funktion har en unik ledsagende boolesk funktion. Det omvendte er ikke sandt: den samme boolske funktion svarer til et uendeligt antal (gren) af R-funktioner.

Sættet af R-funktioner er lukket i betydningen superposition af R-funktioner. Et system af R-funktioner kaldes tilstrækkeligt komplet , hvis sættet af alle superpositioner af elementer (sættet af -realiserbare funktioner) har et ikke-tomt skæringspunkt med hver gren af sættet af R-funktioner. En tilstrækkelig betingelse for fuldstændighed er fuldstændigheden af systemet af tilsvarende ledsagende booleske funktioner. ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}^{*}$

Komplet systemer af R-funktioner

Det mest almindeligt anvendte komplette system af R-funktioner er systemet (til ): $\mathcal{R}_\alpha$ $-1 < \alpha \leq 1$

x \wedge_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y-\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),

x \vee_\alpha y \equiv \frac{1}{1+\alpha}(x+y+\sqrt{x^2+y^2-2\alpha xy}),

\bar{x} \equiv -x.

Når vi har systemet : $\alfa = 0\;$ $\mathcal{R}_0$

x \wedge_0 y \equiv x+y-\sqrt{x^2+y^2},\quad x \vee_0 y \equiv x+y+\sqrt{x^2+y^2},\quad \bar{ x} \ækvivalent -x.

Når vi har systemet : $\alfa = 1\;$ $\mathcal{R}_1$

x \wedge_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y-|xy|),\quad x \vee_1 y \equiv \frac{1}{2}(x+y+|xy|),\ quad \bar{x} \equiv -x.

I sidstnævnte tilfælde falder R-funktionerne af konjunktion og disjunktion sammen med den tilsvarende t-norm og t-konorm for fuzzy logik :

x \kile y \ækvivalent \min(x,y),\quad x \vee y \ækvivalent \max(x,y).

Ansøgninger

Ved hjælp af R-funktioner er det muligt i implicit form at konstruere ligningerne for grænserne for sammensatte domæner ud fra de kendte ligninger for simple domæner. Beskrivelse af grænsen for et komplekst område i form af et enkelt analytisk udtryk giver dig mulighed for at skabe strukturer til løsning af grænseværdiproblemer i matematisk fysik , der afhænger af ubestemte komponenter og nøjagtigt opfylder grænsebetingelserne . De usikre komponenter i sådanne strukturer kan så findes ved en af variations- eller projektionsmetoderne til løsning af grænseværdiproblemer (samlokalisering, Rayleigh-Ritz , Bubnov-Galyorkin-Petrov , mindste kvadrater ). Metoden til løsning af grænseværdiproblemer for partielle differentialligninger baseret på teorien om R-funktioner kaldes den strukturelle metode for R-funktioner eller i udenlandsk litteratur RFM (R-Functions Method).

R-funktioner kan betragtes som et værktøj til logik med uendelig værdi eller fuzzy logik .

R-funktioner bruges (hovedsageligt af elever fra den videnskabelige Kharkov - skole) til at løse en bred klasse af problemer inden for matematisk fysik ( teori om elasticitet [5] [6] [7] [8] [9] , elektrodynamik [10] [ 11] [12] , teori termisk ledningsevne [13] [14] [15] [16] ), samt i multidimensionel digital signal- og billedbehandling [17] , computergrafik og andre områder.

Anvendelse af teorien om R-funktioner og wavelets til løsning af grænseværdiproblemer i matematisk fysik

I værket af professor V.F. Kravchenko og hans elev A.V. Yurin [12] foreslog og underbyggede en ny metode baseret på teorien om R-funktioner og WA-funktionssystemer [18] [19] [20] (bølger bygget på basis af atomfunktioner), ved hjælp af Galerkin-Petrov variationen princip.

Når man overvejer en bred klasse af grænseværdiproblemer af forskellig fysisk karakter, bliver det nødvendigt at løse partielle differentialligninger, hvor det undersøgte område har en kompleks konfiguration. I sådanne tilfælde anvendes som regel numeriske metoder: gitter (metode til endelige forskelle, endelige elementer, grænseelementer), variations- og projektionsmetoder (metode fra Ritz, Bubnov-Galerkin-Petrov, kollokationer, Treftts, mindste kvadraters metode, metode til fiktive områder , R-funktioner). Men hver af dem har sine egne fordele og ulemper. Gittermetoder har således en høj effektivitet af algoritmen (på grund af hvilken de er meget udbredt), men de tager ikke nøjagtigt højde for geometrien af det undersøgte objekt. I tilfælde af variationsmetoder er det ikke altid muligt at konstruere basisfunktioner, der ville opfylde alle de nødvendige betingelser. Derfor er deres anvendelse begrænset. Metoden for R-funktioner [11] , som har geometrisk fleksibilitet og universalitet med hensyn til den valgte metode til at minimere det funktionelle, bør fremhæves særligt. Anvendelsen af denne fremgangsmåde kræver betydelige beregningsomkostninger. Dette skyldes brugen af strukturformler, som er baseret på regionens funktioner konstrueret ved hjælp af R-operationer. Sådanne funktioner kan have en kompleks struktur, og for at beregne integraler af dem over et område af ikke-standardform er det nødvendigt at bruge kvadraturformler med en høj nøjagtighed. Wavelet-baser gør det muligt at omgå ovenstående ulemper på grund af deres unikke egenskaber [21] [22] og udvikle et adaptivt beregningsskema uden at bruge integrationsoperationen. Denne tilgang er mulig på grund af indførelsen af specielle koefficienter, der afspejler de differentielle og integrale karakteristika af grundlaget, såvel som koefficienterne for wavelet-udvidelsen af domænefunktionerne, grænsebetingelser og højre side af ligningen. Hovedværktøjet til implementering af den nye metode baseret på R-funktioner og wavelets er Galerkin-Petrov-skemaet [23] [24] til løsning af partielle differentialligninger.

I værker [12] [20] , ved hjælp af eksemplet med løsning af grænseværdiproblemer af elliptisk type, vises effektiviteten af metoden for R-funktioner (V.L. Rvachevs funktioner) i kombination med WA-funktionssystemer [18] , som fjerner alle de ulemper, der er angivet nedenfor.

Noter

↑ Rvachev V. L. Geometriske anvendelser af logikkens algebra. - Kiev: Tekhnika, 1967.
↑ Rvachev V. L. Metoder til algebra af logik i matematisk fysik. - Kiev: Nauk. tanke, 1974.
↑ Rvachev V. L. Teori om R-funktioner og nogle af dens anvendelser. - Kiev: Nauk. mente 1982.
↑ Kaledin, Valery Olegovich. Teori om R-funktioner: en lærebog for videregående uddannelsesinstitutioner i retning af anvendt matematik og informatik: rec. UMO-universiteter i Den Russiske Føderation / V. O. Kaledin, E. V. Reshetnikova, V. B. Gridchina; Kemerovo stat. un-t, Novokuznetsk in-t (fil.). - 2. udg., revideret. og yderligere - Novokuznetsk: NFI KemSU, 2017. - 119 s.
↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V., Sklepus N. G., Uchishvili L. A. Metode til R-funktioner i problemer med bøjning og vibrationer af plader med kompleks form. - Kiev: Naukova Dumka, 1973.
↑ Rvachev V. L., Protsenko V. S. Kontaktproblemer i elasticitetsteori for ikke-klassiske regioner. - Kiev: Naukova Dumka, 1977.
↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V. R-funktioner i problemer med teorien om plader. - Kiev: Naukova Dumka 1987.
↑ Rvachev V. L., Sinekop N. S. Metode til R-funktioner i problemer med teorien om elasticitet og plasticitet. - Kiev: Naukova Dumka 1990.
↑ Pobedrya B. E. Numeriske metoder i teorien om elasticitet og plasticitet. - M .: Publishing House of Moscow State University, 1995.
↑ Kravchenko V. F., Basarab M. A. Boolean algebra og tilnærmelsesmetoder i grænseværdiproblemer for elektrodynamik. — M.: Fizmatlit, 2004.
↑ 1 2 Kravchenko VF, Rvachev VL Algebra af logik, atomfunktioner og wavelets i fysiske anvendelser. — M.: Fizmatlit, 2006.
↑ 1 2 3 V.F. Kravchenko, A.V. Yurin. Anvendelse af teorien om R-funktioner og wavelets til løsning af grænseværdiproblemer af elliptisk type. Elektromagnetiske bølger og elektroniske systemer. 2009. V.14. Nummer 3. s. 4-39.
↑ Rvachev V. L., Slesarenko A. P. Algebro-logiske og projektionsmetoder i varmeoverførselsproblemer. - Kiev: Nauk. tanke, 1978.
↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Matematisk modellering af fysiske processer i gyroskopi. - M .: Radioteknik, 2005.
↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Metoder til modellering og digital signalbehandling i gyroskopi. — M.: Fizmatlit, 2008.
↑ Matveev V. A., Lunin B. S., Basarab M. A. Navigationssystemer baseret på bølge-faststofgyroskoper. — M.: Fizmatlit, 2008.
↑ Digital signal- og billedbehandling i radiofysiske applikationer / Red. V. F. Kravchenko. — M.: Fizmatlit, 2007.
↑ 1 2 V.F. Kravchenko, O.S. Labunko, A.M. Lehrer, G.P. Sinyavsky. Kapitel 3, 4 // Beregningsmetoder i moderne radiofysik. Under. udg. V.F. Kravchenko. — Moskva: Fizmatlit, 2009.
↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Yurin A.V. Anvendelse af familier af atomare, WA-systemer og R-funktioner i moderne problemer inden for radiofysik. Del II // Radioteknik og elektronik: Gennemgang. - 2015. - Nr. T. 60. Nr. 2 . — S. 109-148 .
↑ 1 2 Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Yurin A.V. Anvendelse af familier af atomare, WA-systemer og R-funktioner i moderne problemer inden for radiofysik. Del IV // Radioteknik og elektronik. - 2015. - T. 60 , nr. 11 . - S. 1113-1152 .
↑ Dobeshi I. Ti forelæsninger om wavelets. Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2001.
↑ Novikov I.Ya., Protasov V.Yu., Skopina M.A. Splash teori. Moskva: Fizmatlit, 2006.
↑ Aubin J.P. Tilnærmet løsning af elliptiske grænseværdiproblemer. M.: Mir, 1972.
↑ Krasnoselsky M.A., Vainenko G.M., Zabreiko P.P., Rutitsky Ya.B., Stetsenko V.Ya. Tilnærmet løsning af operatorligninger. Moskva: Nauka, 1969.

Se også

Algebra af logik
boolsk algebra
boolesk funktion
S-funktion (Slesarenko-funktion)