Grigorchuks gruppe

Grigorchuk-gruppen er det første eksempel på en endeligt genereret gruppe af mellemvækst (det vil sige, at dens vækst er hurtigere end polynomium, men langsommere end eksponentiel).

Et eksempel blev konstrueret af Grigorchuk , mellemvækst blev bevist af ham i hans 1984 papir [1] [2] . Dette besvarede Milnors spørgsmål , stillet i 1968 [3] .

Konstruktion

En gruppe bygges gennem sin handling på et uendeligt komplet binært træ.

Uendeligt komplet binært træ

Overvej et uendeligt komplet binært rodfæstet træ T 2 og dets automorfismer . Dette træ er isomorft for et hvilket som helst af dets undertræer, så enhver af dets automorfismer kan anvendes på et hvilket som helst undertræ.

Hvert toppunkt i træet T 2 kan mærkes med et element af sættet Σ * af alle endelige strenge i alfabetet Σ = {0,1}, inklusive den tomme streng Ø. Den tomme streng Ø svarer til rodknuden T 2 . Etiketten for det venstre barn af hver node opnås ved at tilføje 0, den højre - 1.

Enhver automorfi af træet T2 bevarer stien fra rodknuden til enhver anden og flytter ikke nogen knude fra et niveau til et andet . Opfyldelsen af disse egenskaber er tilstrækkelig til, at en permutation af træets toppunkter er en automorfi af træet. Derfor svarer gruppen af alle automorfier Aut( T 2 ) til gruppen af alle sådanne permutationer σ af sættet af strenge Σ * , der bevarer længden af strengen (det vil sige, at længden x skal være lig med længden σ ( x ) ) og bevar relationen "indledende segment af strengen" (det vil sige, hvis strengen x er det indledende segment af strengen y , så er σ ( x ) det indledende segment af σ ( y )).

Formativer

Grigorchuk-gruppen G er defineret som en undergruppe af gruppen Aut( T 2 ) genereret af visse fire elementer a, b, c, d , dvs. $G=\langle a,b,c,d\rangle <\mathrm {Aut} (T_{2})$

Med hensyn til konvertering af strenge bestående af 0 og 1, er automorfismer a, b, c, d defineret rekursivt som følger:

a (0 x ) = 1 x , a (1 x ) = 0 x ;
b (0 x ) = 0 a ( x ), b ( 1 x ) = 1 c ( x );
c (0 x ) = 0 a ( x ), c ( 1 x ) = 1 d ( x );
d (0 x ) = 0 x , d (1 x ) = 1 b ( x )

for hvert x i Σ*. For eksempel:

a (11101) = 01101
b (11101) = 1 c (1101) = 11 d (101) = 111 b (01) = 1110 a (1) = 11100
c (11101) = 1 d (1101) = 11 b (101) = 111 c (01) = 1110 a (1) = 11100
d (11101) = 1 b (1101) = 11 c (101) = 111 d (01) = 11101

Med hensyn til binær trætransformation bytter elementet a venstre og højre undertræ af træet, det virker på. De resterende elementer virker separat på hver af disse to undertræer, disse elementer kan repræsenteres rekursivt i par (de to elementer i parret svarer til handlingen på venstre og højre undertræ):

b = ( a , c ),
c = ( a , d ),
d = ( 1 , b ).

Her betyder b = ( a , c ), at b ikke ændrer roden T 2 , virker på venstre undertræ som a , og til højre som c . Her betegner 1 identitetskortlægningen .

I en ikke-rekursiv repræsentation ser handlingen af elementerne b , c , d således ud: startende fra roden bevæger vi os ned og vælger det rigtige barn ved hvert trin; samtidig påføres operation a det venstre undertræ hver gang (bytte to af dets undertræer), undtagen for hvert tredje trin, startende fra det tredje, andet og første trin for henholdsvis b , c og d [4] .

Generatoregenskaber

Nedenfor er de vigtigste konsekvenser af denne konstruktion [5] .

Hvert af elementerne a, b, c, d har orden 2 i G .
Elementerne b, c, d pendler parvis, og bc = cb = d, bd = db = c, dc = dc = b .
- Især er en abelsk gruppe af orden 4; det er isomorf til det direkte produkt af to cykliske grupper af orden 2. $\langle b,c,d\rangle$
Gruppen G genereres af a og to af de tre elementer b, c, d (f.eks. ). $G=\langle a,b,c\rangle$
I ovenstående rekursive notation . $aba=(c,a),\ aca=(d,a),\ ada=(b,1)$
Stabilisatoren St G [1] i G er undergruppen genereret af b, c, d, aba, aca, ada . Undergruppen St G [1] er en normal undergruppe af indeks 2 i G , og G = StG [ 1] a StG [ 1]. $\sqkop$
Hvert element i G kan skrives som et (positivt) ord af bogstaverne a, b, c, d uden underord af formen aa, bb, cc, dd, cd, dc, bc, cb, bd, db .
- Sådanne ord kaldes forkortede .
- "Positivt ord" betyder her, at der ikke er elementer a −1 , b −1 osv. i den tilsvarende notation. Da alle disse generatorer har orden 2, dvs. de er omvendte til sig selv, er dette en let betingelse.
Et forkortet ord er et element fra stabilisatoren St G [1], hvis og kun hvis dette ord indeholder et lige antal forekomster af en .
Hvis w er et lige-længde forkortet ord med et positivt lige antal forekomster a , så er der nogle ord u, v skrevet som a, b, c, d (ikke nødvendigvis forkortet) sådan at G har w = (u, v ) og | u | ≤ | w |/2, | v | ≤ | w |/2.
- Hvis w er et forkortet ord af ulige længde med et positivt lige antal forekomster af a , så er dette udsagn også sandt, men ulighederne har formen: | u | ≤ (| w | + 1)/2, | v| ≤ (| w | + 1)/2.

Den sidste egenskab spiller en nøglerolle i mange beviser, da den tillader brugen af induktion på længden af et ord.

Egenskaber

Gruppen G er uendelig. [2]
Gruppen G er restfinit . [2]
Gruppen G er en 2-gruppe , det vil sige, at hvert element i G har en endelig rækkefølge , som er en potens af 2. [1]
Gruppe G har en mellemhøjde . [2]
- Især er gruppen G modtagelig . [2]
- Grigorchuk beviste, at væksten i gruppen G , , ligger mellem og . $\gamma (n)$ $\exp n^{s_{1)),\ s_{1}=1/2$ $\exp n^{s_{2}},\ s_{2}=\log _{32}31\ca. 0{,}991$
- Senere blev den nøjagtige værdi af eksponenten i eksponenten i : fundet , hvor er den reelle rod af polynomiet [6] . $n$ $\gamma (n)$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {\log \log \gamma (n)}{\log n))=1/\log _{2}x\ca. 0,7674$ $x$ $x^{3}-x^{2}-2x-4$
Hver kvotientgruppe G af en ikke-triviel normalgruppe er endelig.
Hver endeligt genereret undergruppe er lukket i den pro-finite topologi på G. [7]
Hver maksimal undergruppe i G har et endeligt indeks . [otte]
Gruppen G er endeligt genereret, men ikke endeligt givet . [2] [9]
Centraliseringen af et element genereres endeligt, hvis og kun hvis elementet er konjugeret til det genererende element "a" [10]
Indekserne for medlemmerne af den nederste centrale række er afgrænset ovenfra af tallet 4 [11]
Eksempler på maksimale lokalt endelige undergrupper blev fundet, de viste sig at være uendelige [12]

Se også

Referencer

↑ 1 2 R. I. Grigorchuk, "On the Burnside problem on periodic groups" Arkiveret 25. januar 2021 på Wayback Machine , Funct. analyse og dens anvendelser, 14:1 (1980), 53-54
↑ 1 2 3 4 5 6 R. I. Grigorchuk, "Vækstgrader for endeligt genererede grupper og teorien om invariante midler" Arkiveret 20. september 2016 på Wayback Machine , Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Mat 48:5 (1984), 939-985
↑ John Milnor, Opgave nr. 5603, American Mathematical Monthly , vol. 75 (1968), s. 685-686.
↑ Rostislav Grigorchuk, Igor Pak. Grupper af mellemvækst: en introduktion : [ eng. ] // L'Enseignement Mathematique. - 2008. - Bd. 54. - S. 251-272. — arXiv : math/0607384 . - doi : 10.5169/seals-109938 .
↑ Pierre de la Harpe. Emner i geometrisk gruppeteori. Chicago forelæsninger i matematik. University of Chicago Press, Chicago. ISBN 0-226-31719-6 ; Ch. VIII, Den første Grigorchuk-gruppe, s. 211-264.
↑ Anna Erschler & Tianyi Zheng. Vækst af periodiske Grigorchuk-grupper // Inventiones mathematicae. - 2020. - Bd. 219.—S. 1069–1155. - doi : 10.1007/s00222-019-00922-0 .
↑ R.I. Grigorchuk og J.S. Wilson. En strukturel egenskab vedrørende abstrakt sammenlignelighed af undergrupper. Arkiveret 24. maj 2011 i Wayback Machine Journal of the London Mathematical Society (2), vol. 68 (2003), nr. 3, s. 671-682.
↑ E. L. Pervova. Overalt tætte undergrupper af en træautomorfigruppe // Tr. MIAN. - 2000. - T. 231. - S. 356-367.
↑ I. G. Lysenok, "Systemet til at definere relationer for Grigorchuk-gruppen" Arkiveksemplar af 13. februar 2018 på Wayback Machine , Mat. notes, 38:4 (1985), 503-516
↑ A.V. Rozhkov. Centralisatorer af elementer i en gruppe af træautomorfismer // Izv. RAN. Ser. mat .. - 1993. - T. 57 , nr. 6 . - S. 82-105 . Arkiveret 26. oktober 2020.
↑ A.V. Rozhkov. Nedre centrale serie af en automorfigruppe af et træ // Matematik. noter .. - 1996. - T. 60 , nr. 2 . — S. 225-237 . Arkiveret fra originalen den 23. juli 2018.
↑ A. V. Rozhkov. Maksimale lokalt endelige undergrupper i Grigorchuk-gruppen // Math. noter .. - 1998. - T. 63 , nr. 4 . — S. 617–624 . Arkiveret 25. november 2020.