Forbrændingsproblem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. februar 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Burnside-problemet  er en række problemer i gruppeteorien omkring spørgsmålet om muligheden for at bestemme en gruppes endelighed kun baseret på dens elementers egenskaber: skal en endeligt genereret gruppe , hvor hvert element har en endelig rækkefølge, nødvendigvis være endelig.

Formuleret af Burnside i 1902 . Det betragtes som et af gruppeteoriens nøgleproblemer.

Når visse betingelser tilføjes, opnås det begrænsede Burnside-problem, det svækkede Burnside-problem.

Historie

Indledende indsats var rettet mod en positiv løsning på problemet, da alle kendte specialtilfælde gav et positivt svar. For eksempel, hvis en gruppe er genereret af elementer, og rækkefølgen af ​​hvert af dens elementer er en divisor på 4, så er den endelig. Desuden beviste Kostrikin i 1959 (i tilfælde af en simpel eksponent ) [1] og i 1980'erne Zelmanov (i tilfælde af en primær eksponent), at der blandt de endelige grupper med et givet antal generatorer og eksponenter eksisterer den største . Klassificeringen af ​​endelige simple grupper og resultaterne af Kostrikin-Zelmanov indebærer eksistensen af ​​den største endelige gruppe blandt alle finite grupper med et givet antal generatorer og en given eksponent.

Det generelle svar på Burnside-problemet viste sig dog at være negativt. I 1964 konstruerede Golod og Shafarevich en uendelig Burnside-type gruppe uden at antage, at hvert element har en ensartet afgrænset rækkefølge. I 1968 foreslog Novikov og Adyan en negativ løsning på problemet med en afgrænset eksponent for alle ulige eksponenter større end 4381 [2] [3] [4] . I 1975 forbedrede Adian metoden og gav en negativ løsning på problemet med en afgrænset eksponent for alle ulige eksponenter større end 665 [5] . I 1982 fandt Olshansky adskillige modeksempler (især Tarski-monstret ) for tilstrækkeligt store ulige eksponenter (større end ) og leverede et bevis baseret på geometriske ideer.

Sagen med en jævn eksponent viste sig at være mere kompliceret. I 1992 annoncerede Ivanov en negativ løsning for tilstrækkeligt store lige eksponenter, der kunne deles med store potenser på 2 (et detaljeret bevis blev offentliggjort i 1994 og tog omkring 300 sider). Senere, i et fælles arbejde, gav Olshansky og Ivanov en negativ løsning på en analog af Burnside-problemet i tilfælde af hyperbolske grupper, forudsat at eksponenten er tilstrækkelig stor.

Problemets tilstand

Det ubegrænsede brændsideproblem . I en endeligt genereret gruppe har alle elementer en endelig rækkefølge. Selvom det er muligt, at disse ordrer samlet set ikke er begrænsede. Følger det heraf, at gruppen har et begrænset antal elementer?

Det begrænsede Burnside-problem . I en endeligt genereret gruppe overstiger rækkefølgen af ​​alle elementer ikke et givet tal. Er det rigtigt, at dette er en gruppe af endelig orden?

Noter

  1. ↑ Kostrikin, A. I. Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR // Mathematical Series. - 1959. - v. 23. - Nr. 1. - s. 3-34.
  2. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Om uendelige periodiske grupper. I  // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. Matematisk serie. - 1968. - T. 32, hæfte 1 . - S. 212-244 .
  3. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Om uendelige periodiske grupper. II  // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. Matematisk serie. - 1968. - T. 32, hæfte 2 . - S. 251-524 .
  4. ↑ Novikov P. S. , Adyan S. I. Om uendelige periodiske grupper. III  // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. Matematisk serie. - 1968. - T. 32, hæfte 3 . - S. 709-731 .
  5. ↑ Adyan S.I. Burnside-problem og identiteter i grupper. - M . : Nauka, 1975. - S. 336.

Litteratur

Links