Dirichlet L-funktion

Dirichlet L - funktionen er en kompleks funktion givet ved(vedi tilfælde af hovedtegnet) af formlen $L_{{\chi }}(r)$ $\operatørnavn {Re}\,s>0$ $\operatørnavn {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

hvor er et eller andet numerisk tegn (modulo k ). Dirichlet-funktioner blev indført for at bevise Dirichlets primtalssætning i aritmetisk progression , hvis centrale punkt er beviset for uligheden for ikke-hovedtegn. $\hage)$ $L$ $L_{\chi}(1)\neq 0$

Euler-produkt til Dirichlet L-funktioner

På grund af multiplikativiteten af det numeriske tegn kan Dirichlet-funktionen repræsenteres i domænet som et Euler-produkt over primtal : $\chi$ $L$ $\operatørnavn {Re}\,s>1$

L_{{\chi }}(s)=\prod _{{p}}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1 }}

Denne formel fører til adskillige anvendelser af -funktioner i teorien om primtal. $L$

Relation til zeta-funktionen

$L$ Dirichlet -funktionen svarende til hovedtegnet modulo k er relateret til Riemann zeta-funktionen med formlen $\zeta (s)$

L_{{\chi _{0}}}(s)=\zeta (s)\prod _{{p|k}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\ ret)

Denne formel giver os mulighed for at definere et område med en simpel pol i punktet . $L_{{\chi _{0}}}(r)$ $Re(r)>0$ $s=1$

Funktionel ligning

Ligesom Riemann-funktionen opfylder -funktionen en lignende funktionel ligning. $L$

Vi definerer som følger: hvis er en gammafunktion , er et lige tegn, så $\Lambda (\chi ,s)$ $\Gamma$ $\chi (-1)=1$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi ,s)

Hvis er et ulige tegn, så $\chi (-1)=-1$

\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi ,s)

Lad også være Gauss summen af karakter , og for lige og for ulige . Så har den funktionelle ligning formen: $g(\chi)=\sum \limits _{k=1}^{q}\chi (k)\exp {\frac {2\pi ik}{q))$ $\chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi)={\frac {g(\chi)}{\sqrt {q))))$ $\chi$ ${\displaystyle \varepsilon (\chi)=-i{\frac {g(\chi)}{\sqrt {q))))$ $\chi$

\Lambda (\chi ,s)=\varepsilon (\chi )q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi )),1-s)

Se også

Dirichlet række

Litteratur

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V. , Shidlovsky A. B. Introduktion til talteori. - M . : Forlag ved Moskva Universitet, 1984.
Karatsuba A. A. Grundlæggende om den analytiske teori om tal. - 3. udg. — M .: URSS, 2004.

L -funktioner i talteori
Analytiske eksempler	Riemann zeta funktion L -Dirichlet funktioner L -funktioner af Hecke-karakterer Automorfe L - funktioner Selberg klasse
Algebraiske eksempler	Dedekind zeta funktioner Artin L -funktioner Hasse-Weyl L -funktioner Motiv L -funktioner
Sætninger	Analytisk formel for antallet af klasser Riemann-von Mangoldt formel Weils hypoteser
Analytiske hypoteser	Riemanns hypotese Generaliserede Riemann-hypoteser Lindelöf hypotese Ramanujan hypotese Artins hypotese
Algebraiske formodninger	Birch-Swinnerton-Dyer hypotese Delignes formodning Beilinsons hypoteser Bloch-Kato formodning Langlands hypotese
p - adic L -funktioner	Hovedhypotesen i Iwasawa-teorien Selmer Group Euler system