H-rum

H - rum er en generalisering af begrebet en topologisk gruppe af en bestemt type.

Definition

Forbundet topologisk rum sammen med et gennemgående kort $x$

\mu \colon X\ gange X\til X

med et enkelt element , det vil sige et element sådan, at $e\in X$

\mu (e,x)=\mu (x,e)=x

for enhver kaldes et H-rum . $x\i X$

Noter

Nogle gange begrænser de sig til den svagere betingelse, at kortlægningerne og er homotopiske til identiteten (nogle gange med fast ). $x\mapsto\mu(e,x)$ $x\mapsto\mu(x,e)$ $e\in X$
- Disse tre definitioner svarer til CW-komplekser .

Eksempler

Hver topologisk gruppe er et H- rum.
For et vilkårligt topologisk rum er rummet for alle kontinuerte afbildninger , der er homotopiske til identiteten, et H - rum. $x$ ${\mathcal {H}}_{X}$ $X\ til X$
- I dette tilfælde kan det defineres som en
sammensætning . $\mu \colon {\mathcal {H}}_{X}\ gange {\mathcal {H}}_{X}\to {\mathcal {H}}_{X}$ $\mu (f,g)=f\circ g$

Blandt sfærer er kun , , og H- rum. Hvori $\mathbb {S} ^{0}$ $\mathbb {S} ^{1}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$ $\mathbb {S} ^{7}$
- Hvert af disse rum danner en enhedsnorm-delmængde af elementer blandt henholdsvis de reelle tal , komplekse tal , quaternioner og oktonioner .
- $\mathbb {S} ^{0}$ , og er
Lie-grupper , men ikke. $\mathbb {S} ^{1}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$ $\mathbb {S} ^{7}$

Egenskaber

Grundgruppen i et H- rum er abelsk .

Se også

Links

Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 , < http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html > . Afsnit 3.C