CA gruppe

En gruppe siges at være en CA-gruppe , en CA-gruppe eller en centraliserende Abelsk gruppe, hvis centralisatoren af ​​et ikke-identisk element er en Abelsk undergruppe . Finite CA-grupper er af historisk betydning som et tidligt eksempel på de typer klassifikationer, der senere blev brugt i Thompson-Fate-sætningen og klassificeringen af ​​simple finite grupper . Nogle vigtige uendelige grupper er CA-grupper, såsom frie grupper , Tarskis monstre , og nogle af Burnside-grupperne , og lokalt endelige CA-grupper er blevet klassificeret præcist. CA-grupper kaldes også kommutative-transitive grupper (eller CT-grupper for kort), fordi kommutativitet er en transitiv relation for ikke-identiske elementer i en gruppe, hvis og kun hvis gruppen er en CA-gruppe.

Historie

Lokalt endelige CA-grupper blev klassificeret af nogle matematikere fra 1925 til 1998. De første endelige CA-grupper, der viste sig at være enkle eller løselige , dukkede op i Weissners papir [1] . Derefter blev det i Brouwer-Suzuki-Wall-sætningen [2] vist, at endelige CA-grupper af lige orden er Frobenius-grupper , Abelske grupper eller todimensionelle projektive specielle lineære grupper over et endeligt felt af ulige orden, PSL(2, 2 f ) for . Endelig blev det vist i Suzukis artikel [3] , at endelige CA-grupper af ulige orden er Frobenius-grupper eller Abelske grupper, og derfor ikke er simple ikke-abelske.

CA-grupper har været vigtige i forbindelse med klassificeringen af ​​simple finite grupper . Michio Suzuki viste, at enhver begrænset simpel , ikke-standsdygtig CA-gruppe har en lige rækkefølge . Dette resultat blev først udvidet til Feit-Hall-Thompson-sætningen, der viser, at endelige simple ikke-abelske CN-grupper har en lige rækkefølge, og derefter til Thompson-Fate-sætningen , som siger, at enhver endelig simpel ikke-abelsk gruppen har en jævn rækkefølge. En beskrivelse af klassificeringen af ​​endelige CA-grupper er givet som eksempel 1 og 2 i Suzukis bog [4] . En mere detaljeret beskrivelse af Frobenius-grupper er inkluderet i Wus artikel [5] , hvor det er vist, at en endelig opløselig CA-gruppe er et halvdirekte produkt af en Abelsk gruppe og en automorfi uden et fast punkt, og omvendt, et hvilket som helst sådant halvdirekte produkt er en endelig opløselig CA-gruppe. Wu udvidede også klassificeringen af ​​Suzuki og andre til lokalt begrænsede grupper .

Eksempler

Enhver Abelsk gruppe er en CA-gruppe, og en gruppe med et ikke-trivielt center er en CA-gruppe, hvis og kun hvis den er Abelian. Finite CA-grupper er klassificeret - opløselige grupper er semidirekte produkter af abelske grupper efter cykliske grupper, således at ethvert ikke-trivielt element virker uden et fikspunkt, og inkluderer grupper såsom dihedrale grupper af størrelsesordenen 4 k + 2 og en alternerende gruppe på 4 ordenspunkter 12 , mens de ikke-opløselige grupper alle er simple og 2-dimensionelle projektive speciallineære grupper PSL(2, 2 n ) for . Uendelige CA-grupper inkluderer frie grupper , PSL(2, R ) og Burnside-grupper med stor prime eksponent [6] . Nogle nyere resultater i det uendelige tilfælde er indeholdt i Wu's papir [5] , herunder klassificeringen af ​​lokalt endelige CA-grupper. Wu bemærkede også, at Tarskis monstre er åbenlyse eksempler på uendelige simple CA-grupper.

Noter

  1. ↑ Weisner, 1925 .
  2. ↑ Brauer, Suzuki, Wall, 1958 .
  3. ↑ Suzuki, 1957 .
  4. ↑ Suzuki, 1986 , s. 291-305.
  5. ↑ 12 Wu , 1998 .
  6. ↑ Lyndon, Schupp, 2001 , s. ti.

Litteratur