Benard celler

Benard- eller Rayleigh-Benard-celler - udseendet af orden i form af konvektive celler i form af cylindriske aksler eller regelmæssige sekskantede strukturer i et lag af viskøs væske med en lodret temperaturgradient , det vil sige ensartet opvarmet nedefra.

Benard-celler kan forklare oprindelsen af vulkanske formationer i form af en stråle af lodrette søjler - sådan er naturmonumenterne " Devil's Tower " (USA) og " The Bridge of the Giants " (Nordirland).

Kontrolparameteren for selvorganisering er temperaturgradienten. Som et resultat af opvarmning begynder diffusion i det oprindeligt homogene væskelag på grund af den resulterende tæthedsinhomogenitet. Når man overvinder en vis kritisk værdi af gradienten, når diffusionen ikke at føre til en ensartet temperaturfordeling over volumenet. Cylindriske aksler vises, roterende mod hinanden (som koblede gear) [1] . Når temperaturgradienten stiger, sker der en anden kritisk overgang. For at fremskynde diffusionen opdeles hver rulle i to mindre ruller. Med en yderligere forøgelse af kontrolparameteren bryder rullerne op, og der opstår turbulent kaos i grænsen , hvilket tydeligt ses i bifurkationsdiagrammet eller Feigenbaum -træet .

I et tyndt lag dannes der, når de opvarmes nedefra, celler med en regulær sekskantet form, inden for hvilke væsken stiger i midten og falder ned langs cellens kanter [2] . Et sådant eksperiment var historisk set det første, men her observeres faktisk Marangoni-konvektion , som opstår på grund af virkningen af overfladespændingskræfter og deres afhængighed af væskens temperatur.

Analytisk løsning af problemet (Rayleigh-problemet)

Vigtigt i problemet med konvektion i et fladt lag er det faktum, at for at skrive det i Boussinesq-tilnærmelsen er det muligt at opnå en nøjagtig analytisk løsning af hydrodynamikkens ligninger. Sandt nok kan en simpel nøjagtig løsning kun findes i en abstrakt indstilling med to frie ikke-deformerbare laggrænser (både over og under), mere realistiske versioner af sådanne løsninger har ikke (men omtrentlige analytiske metoder fungerer godt for dem, f.eks. , Galerkin-metoden ).

Vi præsenterer her løsningen af problemet [3] [4] . Lad os antage, at z-aksen er rettet opad, vinkelret på laget, og x- og y-akserne er parallelle med grænsen. Det er praktisk at vælge oprindelsen af koordinater på den nedre grænse af laget. Indledende konvektionsligninger :

${\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec v}\cdot \nabla ){\vec v}=-{\frac {1}{\rho _{ 0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec v}-\beta T{\vec g},$

${\frac {\partial T}{\partial t))+{\vec v}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,$

$\operatørnavn {div}{\vec v}=0.$

Den dimensionsløse form af konvektionsligningerne for små ligevægtsforstyrrelser, forudsat en eksponentiel vækst af forstyrrelser i tid (de såkaldte "normale" forstyrrelser ) - : ${\vec v},\theta \sim e^{{\lambda t))$

${\frac {\lambda }{Pr)){\vec v}=-\nabla p+\Delta {\vec v}+Ra\theta {\vec e}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +{\vec v}\cdot {\vec e}_{z},$

$\operatørnavn {div}{\vec v}=0,$

hvor er z-aksens enhedsvektor, er henholdsvis Prandtl- tallet og Rayleigh-tallet , og er stigningen (væksthastigheden) af forstyrrelser. Efter ikke-dimensionalisering ændres variablen z fra 0 til 1. T. n. "Normale" forstyrrelser er særlige løsninger af et lineært system af differentialligninger , og er derfor meget brugt i studiet af problemer på forskellige områder. ${\vec e}_{z}$ $Pr,Ra$ $\lambda$

Grænsebetingelserne er sat under den antagelse, at begge grænser er ikke-deformerbare, men frie, og der er ingen forskydningsspændinger i væsken. Grænseforhold:

${\vec v}\cdot {\vec e}_{z}=0$ , er grænsernes ikke-deformerbarhed.

$\sigma _{{xz}}=\sigma _{{yz}}=0$ , er fraværet af forskydningsspændinger. Da vi mener, at vi arbejder med en væske, som Navier-Stokes-ligningen er gyldig for, kan vi eksplicit nedskrive formen af den viskøse spændingstensor og opnå grænsebetingelser for hastighedskomponenterne.

$\sigma _{{ij}}=\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_ {i}}}\right)$ - Naviers lov ,

Ved at tage notationen for hastighedskomponenterne: , omskriver vi grænsebetingelsen for forskydningsspændinger i form af hastighed: ${\vec v}=\venstre\{u,v,w\right\}$

${\frac {\partial u}{\partial z}}=0,$

${\frac {\partial v}{\partial z}}=0$ .

For temperaturforstyrrelser ved grænsen tages en nulværdi. Som et resultat er systemet af grænsebetingelser for problemet som følger:

$z=0,1:$

$w=0;{\frac {\partial u}{\partial z))={\frac {\partial v}{\partial z))=0;\theta =0$

Nu, hvis vi antager, at forstyrrelserne er normale i rummet - (her - bølgevektoren for forstyrrelsen parallelt med planet ) og erstatter differentieringsoperatorerne - kan vi omskrive systemet af konvektionsligninger i form af et system af ODE'er : ${\vec v},p,\theta \sim e^{{\lambda t}}e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}$ ${\vec k}$ $xy$ $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-k^{2},\nabla =\venstre\{i{\vec k};{\frac {\ delvis }{\partial z}}\right\}$

${\frac {\lambda }{Pr)){\vec v}=-\nabla p+\Delta {\vec v}+Ra\theta {\vec e}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w,$

$\operatørnavn {div}{\vec v}=0.$

Tager vi dobbeltrotoren fra den første ligning og projicerer den på z-aksen, får vi det endelige system af ligninger for forstyrrelser:

${\frac {\lambda }{Pr))\Delta w=\Delta ^{2}w+k^{2}Ra\theta ,$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w.$

Baseret på randbetingelserne, samt det faktum, at alle derivater i systemet er af lige orden, er det praktisk at repræsentere løsningen i form af trigonometriske funktioner:

$w=a\sin n\pi z,$

$\theta=b\sin n\pi z,$

hvor n er et heltal. Løsningen i form af sines opfylder alle randbetingelserne på én gang.

Ved at angive , og erstatte den forventede form af løsningen i ligningerne, opnår vi et lineært homogent algebraisk system for a, b. Afhængighed kan udtrykkes ud fra dens determinant : $D=n^{2}\pi ^{2}+k^{2}$ $Ra(\lambda)$

$Ra(\lambda )={\frac {1}{Prk^{2}}}\venstre(D\lambda ^{2}+D^{2}(1+Pr)\lambda +PrD^{3}\ ret)$

Hvis vi her antager - grænsen for monoton stabilitet, ikke-stigning af normale forstyrrelser - får vi en formel til at bestemme det kritiske Rayleigh-tal for den n'te forstyrrelsestilstand: $\lambda=0$

$Ra^{*}={\frac {(k^{2}+n^{2}\pi ^{2})^{3}}{k^{2}}}.$

Det mindste Rayleigh-tal opnås ved . Den minimale afhængighed, som du nemt kan se, falder på , og selve minimumstallet for Rayleigh er lig med . I overensstemmelse med det kritiske bølgetal optræder strukturer i laget i form af ruller af bredde (i dimensionsløse enheder). $n=1$ $k={\frac {\pi }{{\sqrt {2))))$ $Ra^{*}={\frac {27}{4}}\pi ^{4}\ca. 657$ ${\sqrt {2}}$

For problemer med andre varianter af grænser viser det kritiske Rayleigh-tal sig at være højere. For et lag med to faste grænser er det for eksempel 1708 [5] , for et lag med faste øvre og frie nedre grænser er det 1156, og de kritiske bølgetal ændres også. Billedet af konvektive ruller ændrer sig dog ikke kvalitativt.

Se også

Noter

↑ Van Dyke M. Album af væske- og gasstrømme, M .: Mir, 1986 - s. 84, fig. 139-140
↑ Van Dyke M. Album af væske- og gasstrømme, M .: Mir, 1986 - s. 85, fig. 140-141
↑ Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M. Konvektiv stabilitet af en inkompressibel væske. // M.: Nauka, 1972 - § 5
↑ Frick P. G. Turbulens: metoder og tilgange. Forelæsningsforløb, del 1 // Perm: Perm State. tech. un-t., 1998 - s. 33-37
↑ Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M., ibid., § 6

Litteratur

LEScriven & CVSternling "Marangoni Effects"

Benard celler

Analytisk løsning af problemet (Rayleigh-problemet)

Se også

Noter

Litteratur

Links