Shubnikov-de Haas effekt

Shubnikov-de Haas-effekten ( Shubnikov-de Haas-effekten ) er opkaldt efter den sovjetiske fysiker L. V. Shubnikov og den hollandske fysiker V. de Haas , som opdagede den i 1930 . Den observerede effekt bestod i oscillationer af magnetoresistensen af vismutfilm ved lave temperaturer . Senere blev Shubnikov-de Haas-effekten observeret i mange andre metaller og halvledere . Shubnikov-de Haas-effekten bruges til at bestemme den effektive massetensor og formen på Fermi-overfladen i metaller og halvledere.

Udtrykkene langsgående og tværgående Shubnikov-de Haas-effekter introduceres for at skelne mellem orienteringen af det magnetiske felt i forhold til retningen af elektrisk strøm . Af særlig interesse er den tværgående Shubnikov-de Haas-effekt i en todimensionel elektrongas ( DEG ).

Årsag

Årsagen til forekomsten af ledningsevne og modstandssvingninger ligger i funktionerne i 2DEG energispektret, nemlig her taler vi om Landau niveauer med energier

E_{n}^{LL}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),

hvor er Planck-konstanten, er Landau-oscillatorens cyklotronfrekvens, er den effektive elektronmasse, er Landau-niveautallet, er lysets hastighed. $\hbar$ $\omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}c}}$ $m^{*}$ $n=0,1,2...$ $c$

Tætheden af tilstande af 2DEG i et kvantiserende magnetfelt for det todimensionelle tilfælde er et sæt delta-lignende singulariteter $DOS(\varepsilon)$

DOS(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta \left(\varepsilon -\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{ 2}}\right)\right)}.

Lad Fermi-niveauet være fikseret, for eksempel ved Fermi-niveauet i kontakter. Så, når magnetfeltet B øges, vil afstanden mellem Landau-niveauerne begynde at stige, og de vil krydse Fermi-niveauet, og 2DEG-ledningsevnen vil stige. Når Fermi-niveauet er mellem to Landau-niveauer, hvor der ikke er nogen elektroner, der bidrager til ledningsevnen, observeres dets minimum. Denne proces gentages, når magnetfeltet øges. Oscillationer af magnetoresistensen er periodiske i det omvendte magnetfelt, og ud fra deres periode bestemmes koncentrationen af den todimensionelle elektrongas (2DEG) $E_F$ $E_{F}=E_{n}^{{LL}}$ $\Delta \left({\frac {1}{B}}\right)$

n_{{2DEG}}={\frac {2e}{h}}{\frac {1}{\Delta (1/B))),

hvor er elektronladningen og er Plancks konstant. $e$ $h$

Oscillationer af magnetoresistensen opstår også i en anden indstilling af eksperimentet, hvis magnetfeltet er fast, og koncentrationen af 2DEG ændres på en eller anden måde, for eksempel i en felteffekttransistor ved at ændre gatepotentialet.

Todimensional kasus

Overvej en degenereret todimensionel gas (placeret i planet ) af ikke-interagerende (frie) elektroner med en effektiv masse . Et stærkt magnetfelt er rettet vinkelret på planet og uligheden ( er cyklotronfrekvensen ) er opfyldt, det vil sige, at energispektret kvantiseres. Vi antager, at temperaturen er tilstrækkelig lav, og at udvidelsen af Landau-niveauerne på grund af elektronspredning er mindre end afstanden mellem niveauerne , som er den gennemsnitlige frie vej. I dette tilfælde har afhængigheden af komponenterne i den elektriske ledningsevnetensor på magnetfeltet formen: $xy$ $m^{*}$ ${\bold symbol {B}}$ $\omega _{c}\tau \gg 1$ $\omega _{c}=eB/m^{*}c$ $T$ $\hbar \omega _{c}\gg T,\hbar /\tau$ $\tau$

\sigma _{xx}=\sigma _{yy}={\frac {\sigma _{0}}{1+\left(\omega _{c}\tau \right)^{2}} }\venstre[1+{\frac {2{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2))}{1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2)))){\frac {\Delta \nu }{\nu _{0))}\right]

\sigma _{xy}=-\sigma _{yx}=-{\frac {\sigma _{0}\omega _{c}\tau }{1+{{\left(\omega _{ c}\tau \right)}^{2))))\left\{1-{\frac {3{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}+1 }{{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}\left[1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2} }\right]}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right\}

hvor er den elektriske ledningsevne i fravær af et magnetisk felt, bestemt af Drude-formlen [1] . $\sigma _{0}$

Oscillationer i den elektriske ledningsevne med en ændring i feltet beskrives ved forholdet mellem den oscillerende del af tætheden af tilstande og tætheden af tilstande i fravær af et magnetisk felt, : $\Delta \nu$ $\nu _{0}\gg \Delta \nu$

{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0))}=2\sum \limits _{s=1}^{\infty }{\exp \left(-{\frac {\ pi s}{\omega _{c}\tau }}\right)}{\frac {2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)} {\sinh \left(2{{\pi}^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)\right)))\cos \left({\frac {2\pi s{{\varepsilon }_{F))}{\hbar \omega _{c))}-\pi s\right)

hvor er Fermi-energien [2] . $\varepsilon _{F}$

Komponenterne i modstandstensoren , omvendt til ledningsevnetensoren , har en simpel form [2] : ${{\rho }_{ik}}$ $\sigma _{ik}^{-1}={{\rho }_{ik}}$

{{\rho }_{xx}}={\frac {1}{\sigma _{0}}}\left(1+2{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0 }}}\ret)

{{\rho }_{xy}}={\frac {\omega _{c}\tau }{\sigma _{0}}}\left(1-{\frac {1}{{\ venstre(\omega _{c}\tau \right)}^{2))}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0))}\right)

Ovenstående formler er gyldige i det tilfælde, hvor Zeeman-opdelingen af kvanteniveauer kan negligeres ( , er Bohr-magnetonen , er g-faktorens tensorkomponent af elektroner) [3] . ${\displaystyle g_{zz}\mu _{B}B\ll \hbar \omega _{c))$ $\mu _{B}$ ${\displaystyle g_{zz))$

3D sag

Svingningernes form afhænger svagt af spredningspotentialets form, og følgende udtryk, der tager højde for udvidelse på grund af kollisioner og temperatur, samt spin-spaltning, giver en god tilnærmelse til beskrivelse af den tværgående Shubnikov-de Haas-effekt for en tredimensionel elektrongas [4]

\sigma _{{xx}}=\sigma _{0}\left(1+\sum _{{r=1}}^{{\infty }}b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)

b_{r}=(-1)^{r}{\frac {5}{2}}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot { \frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B }T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}} \cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}

hvor , er Dingle-temperaturen, bestemt ud fra kollisionsudvidelsen af niveauet som , er Boltzmann-konstanten, er temperaturen af elektrongassen, er Lande-multiplikatoren for elektronen ( -faktor), er den frie elektronmasse. $\eta =E_{F}/\hbar \omega _{c}$ $T_D$ $\Gamma$ $\pi k_{B}T_{D}=\Gamma$ $k_B$ $T_{e}$ $g$ $g$ $m_{{0}}$

Et lignende udtryk til beskrivelse af den langsgående Shubnikov-de Haas-effekt for en tredimensionel elektrongas (under hensyntagen til spredning af akustiske fononer) kan skrives som [5]

\sigma _{{xx}}=\sigma _{{0L}}\left(1-\sum _{{r=1}}^{{\infty }}b_{r}\cos {\left(2 \pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)

b_{r}=(-1)^{r}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2))}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^ {2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \ omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}

hvor ( er deformationspotentialet , er lydens hastighed, er temperaturen). $\sigma _{{0L}}={\frac {2e^{2}\hbar \rho v_{s}^{2}}{\pi \Xi ^{2}k_{B}Tm^{{*} ))}{\frac {E_{F}}{3}}$ $\Xi$ $v_s$ $T$

Vilkårlig spredningslov

For en vilkårlig spredningslov for ledningselektroner ( er kvasi -momentet), afhænger amplituden og perioden af de elektriske ledningsevnesvingninger af Fermi-overfladens geometri ( er Fermi - energien ). $\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)$ ${\mathbf {p}}$ $\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)={{\varepsilon }_{F}}$ ${\varepsilon }_{F}$

I modsætning til de Haas-van Alphen-effekten , i Shubnikov - de Haas-effekten , i den oscillerende afhængighed af komponenterne i den elektriske ledningsevnetensor ( ) af magnetfeltet, foruden oscillationer af tætheden af tilstande (svarende til de Haas-van Alphen-effekten), opstår der svingninger, der er forbundet med Landau-kvantiseringens indflydelse på spredningsprocesser [6] [7] . Regnskab for den kinetiske ligning for kvantisering af energispektret og indflydelsen af det elektriske felt på elektronenergien i kollisionsintegralet viste, at spredningsprocessernes bidrag til amplituden af Shubnikov-de Haas-oscillationerne af de tværgående komponenter , ( magnetfelt er rettet langs aksen ) i krydsede felter ( ) er afgørende. Den relative oscillerende tilføjelse til de diagonale komponenter af konduktivitetstensoren i den semiklassiske tilnærmelse er af størrelsesordenen [7] : ${{\sigma }_{ik}}$ $i,k=x,y,z$ $\mathbf {E}$ $\sigma_{xx}$ $\sigma_{åå}$ $\mathbf {H}$ $z$ $\mathbf {E} \bot \mathbf {H}$ $\Delta {{\sigma }_{ii}}/{\sigma }_{ii}$

{\displaystyle {\frac {\Delta {{\sigma }_{zz}}}{{\sigma }_{zz}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{xx}}} {{\sigma }_{xx}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{yy}}}{{\sigma }_{yy}}}\sim {{\nu}^{ -1}}\venstre({{\varepsilon }_{F}}\right)\sum \limits _{m}{({\left({\frac {m_{c}{{S}_{m} }}{H}}\right)}^{2}}{\frac {\partial M_{osc}}{\partial H))))

hvor er tætheden af tilstande ved en energi lig med Fermi-energien; er elektronens cyklotronmasse ; er områderne af ekstreme sektioner ( ) af Fermi-overfladen med planer , hvor er projektionen af elektronens kvasi-momentum på retningen af det magnetiske felt; er den oscillerende del af elektronernes magnetiske moment. Sammenlægningen over indekset udføres over alle ekstreme sektioner. Ifølge Lifshitz - Kosevich teorien [8] [9] $\nu \left({{\varepsilon }_{F))\right)$ ${{m}_{c}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial {{S}_{m}}}{\partial {{\varepsilon }_ {F}}}}$ ${S}_{m}(\varepsilon _{F})$ $\partial {{S}_{m}}/\partial {{p}_{H}}=0$ ${p_{H}}=const$ $p_{H}$ ${\displaystyle M_{osc))$ $m$

{{M}_{osc}}\simeq -A_{LK}\sin \left({\frac {c}{e\hbar H}}{{S}_{m}}\mp {\ frac {\pi }{4}}-2\pi \gamma \right)\cos \left(\pi {\frac {m_{c}}{{m}_{0}}}\right);

hvor

A_{LK}={\frac {V}{\pi ^{2}{\sqrt {2\pi }}\hbar ^{3}}}\left({\frac {e\hbar }{ c}}\right)^{3/2}{\frac {S_{m}{\sqrt {H}}}{{{\left|{}^{{{\partial }^{2}}{{ S}_{m}}}\!\!\diagup \!\!{}_{\partial p_{H}^{2}}\;\right|}^{1/2}}\partial {{ S}_{m}}/\partial {{\varepsilon }_{F}}}}\Psi \left({\frac {2\pi ^{2}T}{\hbar \omega _{c}} }\ret)

Formlen er gyldig, når ulighederne er opfyldt:

T\ll {\frac {\hbar eH}{{{m}_{c}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F));\quad {\frac {e\hbar H }{2{{m}_{0}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}});

hvor er volumenet af metallet, , er temperaturen , er massen af en fri elektron , er cyklotronfrekvensen , , er Boltzmann-konstanten . $V$ $\Psi \left(z\right)=z/\sinh z$ $T$ $m_{0}$ ${{\omega }_{c}}={\frac {eH}{{{m}_{c}}c}}$ $\gamma <1$ $k_{B}=1$

Perioden for oscillationer i det omvendte magnetfelt er:

\Delta \left({\frac {1}{H}}\right)={\frac {2\pi e\hbar}{c{{S}_{m))))

Se også

Litteratur

Ridley BK Kvanteprocesser i halvledere = Kvanteprocesser i halvledere. - 4. - Oxford: Clarendon Press, 1999. - 436 s. — ISBN 0-19-850580-9 .

Noter

↑ Akira Isihara og Ludvig Smrčka. Tæthed og magnetfeltafhængighed af ledningsevnen af todimensionelle elektronsystemer // J. Phys. C: Solid State Phys.. - 1986. - Vol. 19 . - S. 6777-6789 . - doi : 10.1088/0022-3719/19/34/015 .
↑ 1 2 Isihara og Smrčka, 1986 .
↑ SA Tarasenko. Effekten af Zeeman-spaltning på Shubnikov-De Haas-oscillationer i todimensionelle systemer // Faststoffets fysik. - 2002. - Bd. 44 , nr. 9 . — S. 1769–1773 . - doi : 10.1134/1.1507263 .
↑ Ridley, 1999 , s. 309.
↑ Ridley, 1999 , s. 312-313.
↑ I.M. Lifshitz, M.Ya. Azbel, M.I. Kaganov. Elektronisk teori om metaller: [ rus. ] . - Moskva: Forlaget "Nauka", 1971. - S. 416.
↑ 1 2 A.A. Abrikosov. Grundlæggende om teorien om metaller. - Moskva: FIZMATLIT, 2010. - S. 598. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ I. M. Lifshits og A. M. Kosevich ZhETF, 27 , 730 (1955).
↑ I. M. Lifshits, A. M. Kosevich DAN SSSR, 96 , 963-966, (1954).