Pareto effektiv distribution uden misundelse

Effektivitet og lighed er velfærdsøkonomiens to hovedmål . Givet et sæt ressourcer og et sæt af agenter, er målet at allokere ressourcer mellem agenterne på en sådan måde, at det er Pareto - effektivt ( PE) og misundelsesfrit ( EF ) . Målet blev først identificeret af David Schmeidler og Menahem Yaari [1] . Senere blev eksistensen af sådanne fordelinger bevist for forskellige forhold.

Eksistensen af STEP-distributionen

Vi vil antage, at hver agent har en præferencerelation på sættet af alle produktsæt. Præferencer er komplette, transitive og lukkede. Tilsvarende kan hver præferencerelation repræsenteres af en kontinuerlig nyttefunktion [2] .

Svagt konvekse præferencer

Sætning 1 (Varian) [3] : Hvis præferencerne for alle agenter er konvekse og strengt monotone , så eksisterer der en Pareto-effektiv misundelsesfri distribution (EPBZ-fordeling).

Bevis : Beviset er afhængigt af eksistensen af en konkurrencemæssig ligevægt med lige indkomster. Antag, at alle ressourcer i økonomien er fordelt ligeligt mellem agenter. Det vil sige, at hvis økonomiens samlede fond er lig med , modtager hver agent en indledende fond på . $E$ $i\in 1,\dots ,n:$ $E_{i}=E/n$

Da præferencer er konvekse , følger det af Arrow-Debreu-modellen , at der eksisterer en konkurrencemæssig ligevægt. Det vil sige, at der er en prisvektor og en partition af sættet , for hvilken $P$ $x$

(CE) Alle agenter maksimerer nytten i henhold til budgettet. Altså hvis , så . ${\displaystyle P\cdot Y\leqslant P\cdot X_{i))$ ${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i))$
(EI) Alle agenter har samme indkomst til ligevægtspriser: for alle . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j))$

Med sådan en fordeling er der altid ingen misundelse. Bevis: efter betingelse (EI) for evt . Derfor efter betingelse (CE) . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{j}\leqslant P\cdot X_{i))$ ${\displaystyle X_{j}\preceq _{i}X_{i))$

Fordi præferencer er monotone , er enhver sådan fordeling også Pareto-effektiv, da monotoni indebærer lokal umættethed . Se Fundamentale teoremer for velfærdsøkonomi .

Eksempler

Alle eksempler bruger to varer , x og y, og to agenter, Alice og Bob . I alle eksempler er hjælpeprogrammerne svagt konvekse og kontinuerlige.

A. Mange EHP-tildelinger: Den samlede fond er (4,4). Alice og Bob har lineære hjælpefunktioner repræsenteret ved substitutter :

u_{A}(x,y)=2x+y

u_{B}(x,y)=x+2y

Bemærk, at værktøjerne er svagt konvekse og strengt monotone. Der er flere ESTP-distributioner. Hvis Alice får mindst 3 enheder af produkt x, så er hendes nytteværdi 6, og hun er ikke jaloux på Bob. På samme måde, hvis Bob får mindst 3 enheder af produkt y, er han ikke jaloux på Alice. Således er fordelingen [(3,0);(1,4)] en EFSP med hjælpeprogrammer (6,9). Ligeledes er fordelingerne [(4,0);(0,4)] og [(4,0,5);(0,3,5)] EFFI'er. På den anden side er fordelingen [(0,0);(4,4)] Pareto-effektiv, men misundelse er til stede (Alice er jaloux på Bob). Med fordelingen [(2,2);(2,2)] er der ingen misundelse, men den er ikke Pareto-effektiv (værktøjer er lig med (6,6), men de kan forbedres, for eksempel til ( 8,8)).

B. Grundlæggende en enkelt STEP-allokering: Samlede midler er lig med (4.2). Alice og Bob har Leontief hjælpefunktioner, der repræsenterer komplementære varer :

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)

Bemærk, at hjælpeprogrammer er svagt konvekse og kun svagt monotone. Der er stadig en STEP distribution. Den samme fordeling [(2,1);(2,1)] er EVAP med nyttevektoren (1,1). Fraværet af misundelse er indlysende (enhver identisk fordeling fører til fravær af misundelse). Med hensyn til Pareto-effektivitet skal du bemærke, at begge agenter kun ønsker y, så den eneste måde for en agent at opnå nytte er at tage noget fra den anden agent, men dette vil reducere nytten for den anden agent. Selvom der er andre EOPS-fordelinger, såsom [(1.5,1);(2.5,1)], har de alle den samme nyttevektor (1,1), så der er ingen måde for begge agenter at få mere end 1 [ 4] .

Topologiske forhold på rummet af effektive distributioner

EPBZ-fordelinger eksisterer, selvom præferencerne for agenterne ikke er konvekse. Der er nogle tilstrækkelige betingelser relateret til formen af sættet af distributioner, der svarer til bestemte hjælpekonfigurationer. Givet en vektor af forsyninger u, definerer A(u) = mængden af alle allokeringer, for hvilke forsyningerne er lig med u. Nedenfor er flere teoremer foreslået af forskellige forfattere:

Sætning 2 (Varian) [5] : Antag, at alle præferencer for alle agenter er strengt monotone . Hvis sættet A(u) for en svag Pareto-effektiv hjælpekonfiguration u er singleton (det vil sige, at der ikke er to svagt Pareto-effektive fordelinger, således at alle agenter ikke skelner mellem dem), så eksisterer der en EPBZ-distribution.

Beviset bruger Knaster-Kuravtosky-Mazurkiewicz-lemmaet .

Bemærk : Betingelserne i sætning 1 og sætning 2 er uafhængige - ingen af dem følger af den anden. Begge følger dog af den strenge konveksitet af præferencer . Det er indlysende, at svag konveksitet følger af streng konveksitet (sætning 1). For at se, at betingelsen for sætning 2 følger af den, antag, at der er to forskellige fordelinger x og y med den samme hjælpekonfiguration u. Lad os definere z = x/2+y/2. Ved streng konveksitet foretrækker alle agenter stærkt z frem for x og y. Derfor kan x og y ikke være svagt Pareto-effektive.

Sætning 3 (Svensson) [6] : Hvis præferencerne for alle agenter er strengt monotone , og for alle Pareto-effektive hjælpeprogrammer u er mængden A(u) konveks, så eksisterer der en EPBZ-fordeling.

Beviset bruger Kakutanis fikspunktssætning .

Bemærk : Hvis præferencerne for alle agenter er konvekse (som i sætning 1), så vil A(u) også være konveks. Desuden, hvis A(u) består af ét element (som i sætning 2), så er det naturligvis også konveks. Derfor er Svenssons sætning mere generel end begge Varians sætninger.

Sætning 4 (Diamantaras) [7] : Hvis præferencerne for alle agenter er strengt monotone , og for enhver Pareto-effektiv nyttevektor u er mængden A(u) kontraherbar (kan kontinuert kontraheres til et punkt), så eksisterer der en EPBZ-fordeling .

Beviset bruger fikspunktssætningen fra Eilenberg og Montgomery [8] .

Bemærk: Enhver konveks mængde kan trækkes sammen, så Diamantaras' sætning er mere generel end de tre foregående.

Sigma-optimalitet

Svensson beviste en anden tilstrækkelig betingelse for eksistensen af EPBZ-distributioner. Lad igen alle præferencer være repræsenteret af kontinuerlige hjælpefunktioner. Desuden er alle brugsfunktioner løbende differentierbare i det indre af forbrugsrummet.

Hovedkonceptet er sigma-optimalitet . Antag, at vi opretter for hver agent k kopier med de samme præferencer. Lad X være fordelingen i den oprindelige økonomi. Lad Xk være en fordeling i den k. kopi, hvor alle kopier af den samme agent får samme sæt fordele som den oprindelige agent X. Fordelingen af X kaldes sigma-optimal, hvis fordelingen af Xk for hver k er Pareto optimal.

Lemma [9] : En fordeling er sigma-optimal, hvis og kun hvis den er i ligevægt under konkurrence .

Sætning 5 (Svensson) [10] : Hvis alle Pareto-optimale fordelinger er sigma-optimale, så eksisterer EPBZ-fordelinger.

Vækst i yderligere indkomst

STEP-distributioner eksisterer muligvis ikke, selvom alle præferencer er konvekse, hvis der er produktion, og teknologien har stigende trinvise indtægter.

Proposition 6 (Vohra) [11] : Der er økonomier, hvor alle præferencer er kontinuerlige, strengt monotone og konvekse, den eneste kilde til ikke-konveksitet i teknologi er faste priser, og der er ingen STEP-distribution for dem.

Tilstedeværelsen af stigende yderligere indkomst repræsenterer således en grundlæggende konflikt mellem effektivitet og fraværet af misundelse.

Fraværet af misundelse kan dog svækkes på følgende måde. En allokering X er defineret som i det væsentlige misundelsesfri ( EEF ), hvis der for en agent i eksisterer en mulig allokering Yi med de samme hjælpeprogrammer (alle agenter ser ingen forskel mellem X og Yi), hvor agent i ikke misunder nogen. Det er indlysende, at enhver distribution uden misundelse er PBZ, da vi kan tage X som Yi for enhver agent i.

Sætning 7 (Vohra) [11] : Antag, at alle præferencer for agenter er strengt monotone og repræsenteres af kontinuerlige nyttefunktioner. Så er der en Pareto effektiv distribution, for det meste uden misundelse.

Ikke-eksistens af EPBZ-distributioner

Ikke-konvekse præferencer

EPBZ-distributioner eksisterer muligvis ikke selv uden produktion, hvis præferencerne ikke er konvekse.

Antag som et eksempel, at den samlede fond er (4,2), hvor Alice og Bob har de samme konkave hjælpefunktioner:

u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)

Med samme fordeling [(2,1);(2,1)] er der ingen misundelse, og nyttevektoren er lig med (2,2). Desuden skal enhver allokering uden misundelse give begge agenter den samme nytteværdi (da de har den samme nyttefunktion), og disse hjælpeprogrammer bør ikke overstige 2. Ingen sådan tildeling er imidlertid Pareto-effektiv, da den er Pareto-domineret af fordelingen [( 4 ,0);(0,2)], hvor nyttevektoren er lig med (4,2).

Der er ingen distribution, selvom vi reducerer manglen på misundelse til fraværet af dominans - ingen agent får mere af hvert gode end den anden agent.

Proposition 8 (Maniquet) [12] : Der er økonomier med 2 produkter og 3 agenter med strengt monotone, kontinuerlige og endda differentierbare nyttefunktioner, hvor der er en dominans af enhver Pareto-effektiv distribution.

Find EPBZ-distributionen

For to agenter er " tuning winner "-proceduren en simpel procedure, der finder en EPBZ-distribution med to yderligere egenskaber - den er også upartisk og højst én ressource deles af to agenter.

For tre eller flere agenter med lineære hjælpefunktioner er enhver Nash-optimal distribution en EPBZ. Den Nash-optimale fordeling er den fordeling, der maksimerer produktet af agenternes hjælpeprogrammer, eller tilsvarende summen af logaritmerne af hjælpeprogrammerne. At finde sådanne distributioner er et konveks optimeringsproblem

${\text{maximize}}\sum _{i=1}^{n}\log(u_{i}(X_{i}))~~~$ , hvis er en fordeling, $(X_{1},\ldots,X_{n})$

og kan derfor findes effektivt. Det faktum, at enhver Nash-optimal fordeling er en EPBZ, er sandt selv under de mere generelle betingelser for en retfærdig kageskæring [13] .

Bevis : Overvej et uendeligt lille stykke kage Z. For hver agent i er det uendelige bidrag af Z til er $\log(u_{i}(X_{i}))$

$u_{i}(Z)\cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \over d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i} (Z) \over u_{i}(X_{i})}$ .

Således giver Nash-optimalitetsreglen hvert sådant stykke Z til agenten j , for hvilken dette udtryk er det største:

$\forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j}) }\geqslant {u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}$

Summation over alle infinitesimale delmængder af mængden X j giver os

$\forall i,j\in [n]:{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})}\geqslant {u_{i}(X_{j} ) \over u_{i}(X_{i})}$

Heraf følger definitionen af en misundelsesfri distribution:

${\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{i}(X_{i})}\geqslant {u_{i}(X_{j)))))$

Se også

Wellers sætning om eksistensen af en misundelsesfri Pareto-effektiv distribution (EPBZ-distribution) til at skære kagen.
Andre relaterede sætninger af Hal Varian kan findes i Varians artikel [14] .
Sætningerne om den fordelingsmæssige EFSP i en økonomi med produktion kan findes i Pikettys papir [15] .

Noter

↑ Schmeidler, Yaari, 1971 .
↑ Varian, 1974 , s. 79.
↑ Varian, 1974 , s. 68.
↑ Bemærk, at en lignende økonomi dukkede op i avisen fra 1974 som et eksempel, hvor STEP-fordelingen ikke eksisterer. Måske var det bare en tastefejl - i stedet for "min" skulle det have været "max", som i eksempel C nedenfor. Se økonomi stak-udveksling tråd
↑ Varian, 1974 , s. 69.
↑ Svensson, 1983 , s. 301-308.
↑ Diamantaras, 1992 , s. 141-157.
↑ Eilenberg, Montgomery, 1946 , s. 214-222.
↑ Svensson, 1994 , s. 528.
↑ Svensson, 1994 , s. 531.
↑ 1 2 Vohra, 1992 , s. 185-202.
↑ Maniquet, 1999 , s. 467-474.
↑ Segal-Halevi, Sziklai, 2018 .
↑ Varian, 1976 , s. 249-260.
↑ Piketty, 1994 , s. 391-405.

Litteratur

David Schmeidler, Menahem Yaari. rimelige tildelinger. — 1971. Upubliceret artikel, mundtlig præsentation - CORE (1969), Stanford, 1970
Hal Varian. Retfærdighed, misundelse og effektivitet // Journal of Economic Theory. - 1974. - T. 9 . - doi : 10.1016/0022-0531(74)90075-1 .
Lars-Gunnar Svensson. Om eksistensen af retfærdige tildelinger (engelsk) // Zeitschrift für Nationalökonomie. - 1983. - September ( vol. 43 , udg. 3 ). - S. 301-308. — ISSN 0044-3158 . - doi : 10.1007/BF01283577 .
Dimitrios Diamantaras. Om lighed med offentlige goder // Sociale valg og velfærd. - 1992. - Juni ( bind 9 , hæfte 2 ). — ISSN 0176-1714 . - doi : 10.1007/BF00187239 .
Rajiv Vohra. Retfærdighed og effektivitet i ikke-konvekse økonomier // Social Choice and Welfare. - 1992. - Juli ( bind 9 , hæfte 3 ). — S. 185–202 . — ISSN 0176-1714 . - doi : 10.1007/BF00192877 .

Samuel Eilenberg, Deane Montgomery. Fixed Point Theorems for Multi-Valued Transformations // American Journal of Mathematics. - 1946. - T. 68 , Nr. 2 . - doi : 10.2307/2371832 . — .
Lars-Gunnar Svensson. σ-Optimality and Fairness // International Economic Review. - 1994. - T. 35 , no. 2 . - doi : 10.2307/2527068 . — .
Francois Maniquet. En stærk uforenelighed mellem effektivitet og lighed i ikke-konvekse økonomier // Journal of Mathematical Economics. - 1999. - December ( bind 32 , hæfte 4 ). — ISSN 0304-4068 . - doi : 10.1016/S0304-4068(98)00067-6 .
Erel Segal-Halevi, Balazs R. Sziklai. Monotonicitet og konkurrencemæssig ligevægt i kageskæring // Økonomisk teori. - 2018. - Maj. — ISSN 1432-0479 . - doi : 10.1007/s00199-018-1128-6 . - arXiv : 1510.05229 .
Hal R Varian. To problemer i teorien om retfærdighed // Journal of Public Economics. - 1976. - V. 5 , no. 3–4 . - doi : 10.1016/0047-2727(76)90018-9 .
Thomas Piketty. Eksistens af retfærdige tildelinger i økonomier med produktion // Journal of Public Economics. - 1994. - November ( bind 55 , hæfte 3 ). — ISSN 0047-2727 . - doi : 10.1016/0047-2727(93)01406-Z .