Kakutani fikspunktssætning

Kakutanis fikspunktssætning er en generalisering af Brouwers fikspunktssætning til flerværdifunktioner.

Ordlyd

Lad være en ikke- tom kompakt konveks delmængde af det euklidiske rum . Lade være en funktion med flere værdier på , sådan at mængden er ikke-tom og konveks for alle , og har en lukket graf, det vil sige mængden $S$ $\phi \colon S\to 2^{S}$ $S$ $\phi (x)\subset S$ $x\i S$

{\displaystyle \{\,(x,y)\i S\ gange S\midt \,y\i \phi (x)\))

er lukket i den direkte produkttopologi . Så har et fast punkt , det vil sige, der eksisterer et punkt sådan at . $S\times S$ $\phi(x)$ $x\i S$ $x\in \phi (x)$

Bemærk

Det følgende eksempel viser, at kravet om, at sæt skal være konvekse , er væsentligt. $\phi(x)$

Lad os fastsætte et tilstrækkeligt lille positivt tal og overveje funktionen $\varepsilon$

\varphi (x)=\{\,y\in [0,1]\mid |xy|\geq \varepsilon \,\},

defineret på segmentet . Bemærk, at mængden ikke er konveks, og denne funktion har ikke et fikspunkt, selvom den opfylder alle andre krav i sætningen. $[0,1]$ $\phi ({\tfrac {1}{2)))$

Om beviser

Kakutanis sætning kan reduceres til Brouwers sætning ved tilnærmelse .

Kakutanis sætning kan udledes af Sperners lemma på samme måde som Brouwers sætning.

Historie

Sætningen blev bevist af Shizuo Kakutani i 1941, [1] for at bevise minimax-sætningen i et antagonistisk spil .

Det blev brugt af John Nash til at bevise eksistensen af Nash-ligevægten i det berømte to-siders papir [2] , der vandt ham Nobelprisen i økonomi .

Noter