Funktionel ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. december 2021; checks kræver 2 redigeringer .

En funktionel ligning er en ligning , der udtrykker forholdet mellem værdien af en funktion på et punkt og dens værdier på andre punkter. Mange egenskaber ved funktioner kan bestemmes ved at undersøge de funktionelle ligninger, som disse funktioner opfylder. Udtrykket "funktionel ligning" bruges almindeligvis om ligninger, der ikke kan reduceres på enkle måder til algebraiske ligninger . Denne irreducerbarhed skyldes oftest det faktum, at argumenterne for den ukendte funktion i ligningen ikke er de uafhængige variabler selv, men nogle data for funktionen fra dem.

Eksempler

Funktionel ligning:

f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f( 1-s)

hvor er Euler gamma-funktionen , opfylder Riemann zeta-funktionen . $\Gamma(z)$ $\zeta$

Gammafunktionen er den eneste løsning på dette system af tre ligninger:

{\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x))

f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}}{2^{{2y-1}}}}f( 2 år)

{\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)))

( Eulers komplementformel )

Funktionel ligning:

f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)

hvor er heltal , der opfylder ligheden , det vil sige: $a,b,c,d$ $ad-bc=1$

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1

definerer som en modulær ordreform . $f$ $k$

Funktionelle Cauchy-ligninger:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ — opfylder alle lineære homogene funktioner , $f(x)=ax$
$f(x+y)=f(x)f(y)$ — opfylder alle eksponentielle funktioner , ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x))$
$f(xy)=f(x)+f(y)$ — opfylder alle logaritmiske funktioner , $f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)$
$f(xy)=f(x)f(y)$ — opfylder alle strømfunktioner . ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a))$

Cauchy funktionelle ligninger er reduceret til hinanden. Så ligningen reduceres til ligningen efter udskiftningen (for dette er det selvfølgelig nødvendigt, at det ikke er identisk nul). I klassen af kontinuerlige funktioner og i klassen af monotone funktioner er de givne løsninger de eneste, bortset fra den degenererede opløsning . Men i bredere klasser af funktioner er meget eksotiske løsninger mulige, se artiklen "Hamels Basis" . $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ $g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})$ $g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|$ $f(x)$ $f(x) \ækvivalent 0$

Andet:

$f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]$ er en andengradsligning eller parallelogram identitet , opfylder , ${\displaystyle f(x)=kx^{2))$
$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}$ er Jensen-ligningen, opfylder alle lineære funktioner , $f(x)=ax+b$
${\displaystyle f(x+y)f(xy)=f(x)^{2))$ er Lobachevsky-ligningen (version af Jensen-ligningen), opfylder , ${\displaystyle f(x)=ac^{x))$
$f(x+y)+f(xy)=2[f(x)f(y)]$ er d'Alemberts ligning,
$f(h(x))=f(x)+1$ — Abel-ligning ,
$f(h(x))=cf(x)$ er Schroeder-ligningen , løsningen er Koenigs-funktionen forbundet med funktionen . $\textstyle h(x)$

Tilbagevendende relationer

En særlig type funktionelle ligninger er en rekursiv relation, der indeholder en ukendt funktion af heltal og en skiftoperator .

Lineære gentagelsesrelationer:

a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(ni)

(hvor er konstanter uafhængige af ) har en teori analog med teorien om lineære differentialligninger. For eksempel for en lineær gentagelsesrelation: ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{k))$ $n$

a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)

det er nok at finde to lineært uafhængige løsninger, alle andre løsninger vil være deres lineære kombinationer.

For at finde disse løsninger er det nødvendigt at erstatte en testfunktion med en ubestemt parameter i gentagelsesrelationen og forsøge at finde dem, for hvilke denne gentagelsesrelation vil være opfyldt. For det givne eksempel får vi en andengradsligning med to forskellige rødder , og derfor vil den generelle løsning for denne gentagelsesrelation være en formel (konstanterne og er valgt således, at for og formlen giver de ønskede værdier for mængderne og ). I tilfælde af multiple rødder af et polynomium, fungerer funktioner og så videre som yderligere prøveløsninger . ${\displaystyle a(n)=\lambda ^{n))$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda ^{2}=3\lambda +4$ $\lambda =-1$ $\lambda =4;$ ${\displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n))$ $d_{1}$ $d_{2}$ $n=1$ $n=2$ $a(1)$ $a(2)$ $n\lambda ^{n},$ $n^{2}\lambda ^{n}$

En af de velkendte gentagelsesrelationer er , som definerer Fibonacci-sekvensen . $a(n)=a(n-1)+a(n-2)$

Løsning af funktionelle ligninger

Der er nogle generelle metoder til løsning af funktionelle ligninger.

Især kan det være nyttigt at anvende begrebet involution , det vil sige brugen af egenskaber ved funktioner, hvortil ; de enkleste involutioner: $f(f(x)) = x$

f(x) = -x

, , , .

f(x)={\frac {1}{x}}

f(x)={\frac {1}{1-x}}+1

f(x)=1-x

Eksempel . For at løse ligningen:

f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}

for alle , og vi sætter :. Så og . Dernæst sætter du : $x,y\in \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} \to R$ $x=y=0$ ${\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2))$ $f(0)^{2}=0$ $f(0)=0$ $y=-x$

{\displaystyle f(xx)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}

0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}

Kvadratet af et reelt tal er ikke-negativt, og summen af ikke-negative tal er lig med nul , hvis og kun hvis begge tal er lig med 0. Derfor er , for alle og den eneste løsning på denne ligning. $f(x)^{2}=0$ $x$ $f(x)\equiv 0$

Litteratur

Golovinskiy IA Tidlig historie om analytiske iterationer og funktionelle ligninger. // Historisk og matematisk forskning. Moskva: Nauka, bind. XXV, 1980, s. 25-51.
Kuczma M. På den funktionelle ligning φn(x) = g(x). Ann. Polon. Matematik. 11 (1961) 161-175 .
Kuczma M. En introduktion til teorien om funktionelle ligninger og uligheder. Warszawa-Krakow-Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
Likhtarnikov LM Elementær introduktion til funktionelle ligninger. St. Petersborg: Lan, 1997.

Funktionel ligning

Eksempler

Tilbagevendende relationer

Løsning af funktionelle ligninger

Litteratur

Links