Fermats sidste sætning

Fermats sidste sætning (eller Fermats sidste sætning ) er en af de mest populære sætninger i matematik. Dens tilstand er formuleret enkelt, på "skole" aritmetisk niveau, men mange matematikere har ledt efter beviset for teoremet i mere end tre hundrede år. Bevist i 1994 af Andrew Wiles og kolleger (bevis offentliggjort i 1995 ).

Ordlyd

Sætningen siger [1] at for ethvert naturligt tal ligningen $n > 2$

a^{n}+b^{n}=c^{n}

har ingen løsninger i ikke-nul heltal . $a,b,c$

Der er en snævrere version af formuleringen, der angiver, at denne ligning ikke har nogen naturlige løsninger. Det er dog indlysende, at hvis der er en løsning for heltal, så er der også en løsning for naturlige tal. Faktisk, lad være heltal, der giver løsningen af Fermats ligning. Hvis det er lige, vil det også være en løsning, og hvis det er ulige, så overfører vi alle graderne af negative værdier til en anden del af ligningen ved at ændre fortegnet. For eksempel, hvis der findes en løsning på ligningen, og den samtidig er negativ, og de andre er positive, så får vi naturlige løsninger, og derfor er begge formuleringer ækvivalente. $a,b,c$ $n$ $|a|, |b|, |c|$ $a^3 + b^3 = c^3$ $-en$ ${\displaystyle b^{3}=c^{3}+|a|^{3))$ $c, |a|, b.$

Generaliseringer af påstanden om Fermats teorem er den tilbageviste Euler-formodning og den åbne Lander-Parkin-Selfridge-formodning .

Historie

Al-Khojandi forsøgte at bevise denne teorem for sagen i det 10. århundrede , men hans bevis er ikke blevet bevaret. $n=3$

Generelt set blev sætningen formuleret af Pierre de Fermat i 1637 i margenen af Diophantus ' Aritmetik . Faktum er, at Fermat lavede sine egne noter i margenen af de matematiske afhandlinger, han læste, og samme sted formulerede de problemer og teoremer, der kom til at tænke på. Han skrev den pågældende sætning ned med en note om, at det vittige bevis, han fandt på denne sætning, er for langt til at passe i bogens marginer:

Tværtimod er det umuligt at dekomponere en terning i to terninger, en bi-kvadrat i to bi-kvadrater og generelt ingen potens større end en kvadrat i to potenser med samme eksponent. Jeg har fundet et virkelig forunderligt bevis på dette, men bogens marginer er for snævre til det.

Originaltekst (lat.)[ Visskjule] Cubum autem in duos cubos, autatoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fast est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Fermat giver kun beviset som en løsning på et problem, der kan reduceres til sætningens fjerde potens, i den 45. kommentar til Diophantus' aritmetik [2] og i et brev til Karkavy (august 1659) [3] . Derudover inkluderede Fermat sagen på listen over problemer løst ved den uendelige nedstigningsmetode [3] . $n=4$ $n=3$

Euler i 1770 beviste teoremet [4] for sagen , Dirichlet og Legendre i 1825 - for , Lame - for . Kummer viste, at sætningen er sand for alle primtal mindre end 100, med mulig undtagelse af de såkaldte uregelmæssige primtal 37, 59, 67. $n=3$ $n=5$ $n=7$ $n$

Det er sædvanligt at kalde udsagnet om, at ligningen ikke kan opfyldes med tal, der ikke er delelige med tal, det første tilfælde af Fermats sætning, og udsagnet om, at ligningen ikke kan opfyldes med tal, hvoraf det ene er deleligt med , det andet tilfælde af Fermats sætning [5] Det første tilfælde af Fermats sætning for eksponenter i form af Sophie Germain-tal blev bevist af Sophie Germains sætning . $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ $n$ $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ $n$

Mange fremtrædende matematikere og mange amatøramatører arbejdede på et komplet bevis for den store sætning; det menes, at sætningen er på førstepladsen med hensyn til antallet af forkerte "beviser". Ikke desto mindre førte disse bestræbelser til mange vigtige resultater i moderne talteori . David Hilbert bemærkede i sin rapport "Mathematical Problems" ved II International Congress of Mathematicians (1900), at søgen efter et bevis for denne tilsyneladende ubetydelige sætning førte til dybtgående resultater inden for talteori [6] . I 1908 testamenterede den tyske matematiker Paul Wolfskel 100.000 tyske mark til enhver, der kunne bevise Fermats teorem. Efter Første Verdenskrig blev præmien dog værdiløs .

I 1980'erne opstod en ny tilgang til at løse problemet. Fra Mordell-formodningen , bevist af Faltings i 1983, følger det, at ligningen for kun kan have et begrænset antal coprime- løsninger. $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ $n>3$

I 1984 beviste den tyske matematiker Gerhard Frei at en løsning på Fermats ligning, hvis den findes, kan inkluderes i en elliptisk ligning og foreslog, at Fermats sidste sætning er en konsekvens af Taniyama-Shimura-hypotesen . Denne formodning blev bevist af Ken Ribet [7] , som viste, at denne hypotetiske ligning ikke kan have en pendant blandt modulære former .

Det sidste vigtige skridt i beviset for teoremet blev taget af Wiles i september 1994 . Hans 130-siders bevis på Taniyama-Shimura-formodningen blev offentliggjort i Annals of Mathematics [ 8] .

Wiles udgav den første version af sit bevis i 1993 (efter syv års arbejde), men den opdagede hurtigt en alvorlig[ hvad? ] hul, som med hjælp fra Richard Lawrence Taylor hurtigt kunne lukke [9] . I 1995 blev den endelige version [10] offentliggjort . I 2016 modtog Andrew Wiles Abelprisen for at bevise Fermats sidste sætning [11] .

Colin McLarty bemærkede, at Wiles' bevis måske kunne forenkles for ikke at antage eksistensen af såkaldte " store kardinaler " [12] [13] .

Fermats sætning følger også trivielt af abc -hypotesen , som blev hævdet at være bevist af den japanske matematiker Shin'ichi Mochizuki ; dets bevis er ekstremt vanskeligt. Der er i øjeblikket ingen klar konsensus i det matematiske samfund om hans arbejde [14] .

Nogle variationer og generaliseringer

En af hypoteserne fremsat af Euler (1769) sagde, at ligningen ikke har nogen naturlige løsninger . I 1988 opdagede Noam Elkis følgende løsning [15] : ${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4))$ $a,b,c,d.$

2\,682\,440^{4}+15\,365\,639^{4}+18\,796\,760^{4}=20\,615\,673^{4} .

Andre løsninger blev senere fundet; den enkleste af dem:

95\,800^{4}+217\,519^{4}+414\,560^{4}=422\,481^{4}.

En anden populær generalisering af Fermats teorem er Beales formodning , formuleret i 1993 af en amerikansk amatørmatematiker, der lovede 1 million dollars for at bevise eller modbevise den.

"Fermatister"

Enkelheden i formuleringen af Fermats sætning (forståelig selv for en skoledreng), såvel som kompleksiteten af det eneste kendte bevis (eller uvidenhed om dets eksistens), inspirerer mange til at forsøge at finde et andet, enklere bevis. Folk, der forsøger at bevise Fermats sætning ved hjælp af elementære metoder, kaldes " fermatister " eller "fermatister". [16] Fermatister er ofte uprofessionelle og laver fejl i aritmetik eller slutninger , selvom nogle fremlægger meget sofistikerede "beviser", som er svære at finde en fejl i.

At bevise Fermats sætning blandt matematikere var så populær, at tidsskriftet Kvant i 1972 , der udgav en artikel om Fermats sætning, ledsagede det med følgende note [16] : "Kvants redaktører på deres side anser det for nødvendigt at informere læserne om, at breve projekter af beviser for Fermats sætning vil ikke blive overvejet (og returneret).

Den tyske matematiker Edmund Landau var meget generet af "fermatister". For ikke at blive distraheret fra hovedarbejdet bestilte han flere hundrede formularer med en skabelontekst, der indikerede, at der var en fejl på en bestemt linje på en bestemt side, mens han instruerede sine kandidatstuderende om at finde en fejl og udfylde hullerne i formen.

Individuelle fermatister søger offentliggørelse af deres (forkerte) "beviser" i den ikke-videnskabelige presse, hvilket puster deres betydning op til en videnskabelig sensation [17] [18] . Men nogle gange optræder sådanne publikationer i respekterede videnskabelige publikationer [19] , som regel med efterfølgende afslag [20] . Blandt andre eksempler:

Brochure af V.I. Proof of Fermat's Last Theorem" (47 s., 5000 eksemplarer, Verkhne-Volga bogforlag, 1975 ) [21] .
L. Sh. Reichels bog "The Great Theorem", udgivet i Leningrad i 1990 [22] .
Certifikat for registrering af ophavsret til værket "Proof of Fermat's Theorem", udstedt af Ministeriet for Undervisning og Videnskab i Ukraine til L. V. Shapovalova og G. A. Seredkin. Dokumentet attesterer på ingen måde korrektheden af beviset, men registrerer kun ophavsretten til det trykte værk, der er indsendt til Undervisnings- og Videnskabsministeriet; dette ministerium er betroet ansvaret for at føre et register over sådanne certifikater [23] .

Fermats teorem i kultur og kunst

Fermats sidste sætning er blevet et symbol på det sværeste videnskabelige problem og nævnes ofte i skønlitteraturen som sådan. Det følgende er nogle værker, hvor teoremet ikke blot er nævnt, men er en væsentlig del af værkets plot eller ideologi.

I Arthur Porges ' novelle "Simon Flagg og Djævelen" [24] vender professor Simon Flagg sig til djævelen for at bevise en teorem. Baseret på denne historie blev der optaget en kort fiktion populærvidenskabelig film " Mathematician and the Devil " (USSR, 1972 , Tsentrnauchfilm filmstudie , Raduga kreative forening, instruktør Reitburt ).

Alexander Kazantsev i romanen "Sharper than a Sword" i 1983 foreslog den originale version af Pierre Fermats manglende bevis.

I TV-serien Star Trek blev rumskibskaptajnen Jean-Luc Picard forundret over den anden halvdel af det 24. århundrede ved at tyde Fermats sidste sætning . Filmskaberne antog således, at Fermats sidste sætning ikke ville have en løsning i de næste 400 år. Piano - serien med denne episode blev filmet i 1989 , da Andrew Wiles var i begyndelsen af sit arbejde. Faktisk blev løsningen fundet kun fem år senere.

I episoden af The Simpsons med Halloween -tema fra 1995 kommer en todimensionel Homer Simpson ved et uheld ind i den tredje dimension. Under hans rejse i denne mærkelige verden svæver geometriske kroppe og matematiske formler, inklusive ukorrekt lighed, i luften . En lommeregner med en nøjagtighed på højst 10 signifikante tal bekræfter denne lighed: $1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$

{\begin{aligned}1782^{12}+1841^{12}&=2\,541\,210\,258\,614\,589\,176\,288\,669\,958 \,142\,428\,526\,657\ca. 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39},\\1922^{12}&=2\,541\,210\ ,259\,314\,801\,410\,819\,278\,649\,643\,651\,567\,616\ca. 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{ 39}.\end{aligned}}

Men selv uden at beregne de nøjagtige værdier, er det let at se, at ligheden er forkert: venstre side er et ulige tal , og højre side er et lige tal.

I den første udgave af The Art of Computer Programming af Donald Knuth er Fermats sætning givet som en matematisk øvelse helt i begyndelsen af bogen og givet maksimalt 50 point som "et forskningsproblem, der (så vidt forfatteren ved på det tidspunkt) skriftligt) har endnu ikke været en tilfredsstillende løsning. Hvis læseren finder en løsning på dette problem, opfordres han til at offentliggøre den; desuden vil forfatteren af denne bog være meget taknemmelig, hvis han vil blive informeret om løsningen så hurtigt som muligt (forudsat at den er korrekt). I bogens tredje udgave kræver denne øvelse allerede viden om højere matematik og er anslået til kun 45 point.

I Stieg Larssons bog " Pigen der legede med ilden " [25] har hovedpersonen Lisbeth Salander, som har sjældne evner til analytisk og fotografisk hukommelse, travlt med at bevise Fermats sidste sætning som en hobby, som hun faldt over, mens hun læste grundlæggende arbejde "Measurements in Mathematics ", som også giver beviset for Andrew Wiles. Lisbeth ønsker ikke at studere et færdigt bevis, og hovedinteressen er at finde sin egen løsning. Derfor bruger hun al sin fritid på en selvstændig søgen efter et "bemærkelsesværdigt bevis" på den store franskmands sætning, men igen og igen kommer hun i en blindgyde. I slutningen af bogen finder Lisbeth et bevis, der ikke kun er helt anderledes end Wiles, men er så enkelt, at Fermat selv kunne have fundet det. Men efter at være blevet skudt i hovedet glemmer hun ham, og Larsson giver ikke nogen detaljer om dette bevis.

Farm's Last Tango er en musical fra 2000 af Rosenblum og Joan Lessner baseret på den sande historie om Andrew Wiles. Hovedpersonen, ved navn Daniel Keene, er ved at færdiggøre beviset for sætningen, og Fermats ånd forsøger at stoppe ham. Musicalen blev præsenteret på York Theatre i New York, derefter optaget og udgivet af Clay Institute [26] .

Få dage før sin død nåede Arthur Clarke at gennemgå manuskriptet til romanen " The Last Theorem ", som han arbejdede på i samarbejde med Frederick Pohl . Bogen blev udgivet efter Clarks død.

Noter

↑ Fermats sætning // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5.
↑ Diophantus af Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C. G. Bacheti V. C. & observationibus D. P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, s. 338-339.
↑ 1 2 Fermat a Carcavi. Omkring 1659. Oeuvres de Fermat. Bind II. Paris: Tannery & Henry, 1904, s. 431-436.
↑ Yu. Yu. Machis. Om Eulers foreslåede bevis // Matematiske noter. - 2007. - T. 82 , nr. 3 . - S. 395-400 . Engelsk oversættelse: JJ Macys. Om Eulers hypotetiske bevis (engelsk) // Mathematical Notes : journal. - 2007. - Bd. 82 , nr. 3-4 . - S. 352-356 . - doi : 10.1134/S0001434607090088 . (utilgængeligt link)
↑ M. M. Postnikov. Fermats sætning. - SCIENCE Hovedudgaven af fysisk og matematisk litteratur, 1978. - S. 15 .
↑ David Hilbert . Matematikproblemer arkiveret 11. september 2014 på Wayback Machine :
Problemet med at bevise denne uløselighed er et slående eksempel på den stimulerende indflydelse, som et særligt og tilsyneladende ubetydeligt problem kan have på videnskaben. For, foranlediget af Fermat-problemet, kom Kummer til introduktionen af ideelle tal og til opdagelsen af en sætning om den unikke dekomponering af tal i cirkulære felter til ideelle primfaktorer - en sætning, der nu er, takket være generaliseringerne til enhver algebraisk taldomæne opnået af Dedekind og Kronecker , er centralt for moderne talteori, og hvis betydning rækker langt ud over talteori til algebra- og funktionsteoriens område.
↑ Solovyov Yu. P. Taniyamas hypotese og Fermats sidste teorem // Soros Educational Journal . - ISSEP, 1998. - V. 4 , nr. 2 . - S. 135-138 .
↑ Wiles, Andrew. Modulære elliptiske kurver og Fermats sidste sætning // Annals of Mathematics : journal . - 1995. - Bd. 141 , nr. 3 . - S. 443-551 .
↑ Taylor, Richard; Wiles, Andrew. Ringteoretiske egenskaber for visse Hecke-algebraer (engelsk) // Annals of Mathematics : journal. - 1995. - Bd. 141 , nr. 3 . - s. 553-572 . Arkiveret fra originalen den 27. november 2001. Arkiveret kopi (ikke tilgængeligt link) . Hentet 31. oktober 2004. Arkiveret fra originalen 27. november 2001. (ubestemt) (Engelsk)
↑ Stillwell D. Matematik og dens historie. - Moskva - Izhevsk: Institut for computerforskning, 2004. - S. 199-200.
↑ Brite, der beviste Fermats sidste sætning, vil modtage Abelprisen 16. marts 2016 på Wayback Machine .
↑ Colin McLarty. Hvad skal der til for at bevise Fermats sidste sætning? Grothendieck og talteoriens logik // Bulletin of Symbolic Logic. - 2010. - Bd. 16 , nr. 3 . - s. 359-377 .
↑ Fermats sidste sætning og mere kan bevises mere enkelt (engelsk) (link ikke tilgængeligt) . Hentet 27. november 2015. Arkiveret fra originalen 28. juni 2018.
↑ David Michael Roberts. A Crisis of Identification : [ eng. ] // Inferens. - 2019. - Bd. 4, nr. 3.
↑ Navarro, Joaquin. Undvigende ideer og evige teoremer. Store Matematikproblemer. - M. : De Agostini, 2014. - T. 25. - S. 84. - 160 s. — (Matematikkens verden: i 45 bind). - ISBN 978-5-9774-0720-5 .
↑ 1 2 Gastev Yu., Smolyansky M. Et par ord om Fermats sidste sætning // Kvant . - 1972. - T. 8 . - S. 23-25 .
↑ Sætning - om missiler! . Hentet 6. juni 2018. Arkiveret fra originalen 30. maj 2018. (ubestemt)
↑ Kan menneskeheden slappe af? . Hentet 19. september 2008. Arkiveret fra originalen 29. september 2007. (ubestemt)
↑ Humanity Can Relax Arkiveret 20. juli 2014 på Wayback Machine . Hjemmeside for det russiske videnskabsakademi .
↑ Fermats teorem beviste, at forsøg på at bevise det aldrig vil stoppe Arkiveret 20. juli 2014 på Wayback Machine . Hjemmeside for det russiske videnskabsakademi .
↑ Pioneers Arkiveret 20. september 2013 på Wayback Machine .
↑ Lazar Shlemovich Reichel . The Great Theorem: (Fortællingen) [Om læreren i fysik L. G. Margolin] / L. Reichel - L .: B. m. B. i. 252 s., 1990 (reg. 1991).
↑ Resolution fra Ukraines ministerkabinet dateret den 27. december 2001 nr. 1756 "Om statens registrering af ophavsret ..." .
↑ A. Porges. Devil and Simon Flagg // The Magazine of Fantasy & Science Fiction : magasin. - NY, 1954. Russisk oversættelse: Porges A. Simon Flagg og Djævelen // Kvant . - 1972. - T. 8 . - S. 17-22 .
↑ I 2010 blev bogen udgivet på russisk af Eksmo-forlaget, med den originale titel " Flickan som lekte med elden ", i engelsk oversættelse " Pigen der legede med ilden ".
↑ Robert Osserman. Fermats sidste tango _ ] // Meddelelser fra AMS. - 2001. - Bd. 48. - S. 1330-1332.

Litteratur

På russisk

Abrarov D. Fermats sætning: Fænomenet med Wiles' beviser .
Alvarez L.F.A. Den sværeste opgave i verden. Gård. Fermats sidste sætning // Nauka. De største teorier. - M . : De Agostini, 2015. - Udgave. 18 . — ISSN 2409-0069 .
Violant-y-Holtz, Albert. Gårdsmysterium. En udfordring i tre århundreder til matematik. - M. : De Agostini, 2014. - 151 s. — (Matematikkens verden: i 45 bind, bind 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3 .
Kirsanov F. Historien om Fermats sidste sætning .
Manin Yu.I., Panchishkin A.A. Introduktion til moderne talteori. — M .: MTSNMO , 2009.
Postnikov M. M. Introduktion til teorien om algebraiske tal. - M. : Nauka, 1982.Bogens hovedtema er Fermats sidste teorem.
Ribenboim P. Fermats sidste teorem for amatører. — M .: Mir , 2003.
Singh S. Fermats sidste sætning . — M .: MTsNMO , 2000.
Khinchin A. Ya. Fermats sidste sætning. - 3. udg. — M .: ONTI, 1934.
Edwards G. Fermats sidste sætning. - M . : Mir, 1980.Bogen diskuterer i detaljer teorien om ideelle divisorerKummer.

På engelsk

Donald C. Benson. Bevisets Øjeblik: Matematiske Epofanier. - Oxford University Press , 1999. - ISBN 0-19-513919-4 .
Faltings, Gerd (1995). Beviset for Fermats sidste teorem af R. Taylor og A. Wiles , Notices of the AMS ( 42 ) (7), 743-746.
Daney, Charles (2003). Matematikken i Fermats sidste sætning . Hentet aug. 5, 2004.
O'Connor, JJ & og Robertson, E.F. (1996). Fermats sidste sætning. Problemets historie . Hentet aug. 5, 2004.
Shay, David (2003). Fermats sidste sætning. Historien, historien og mysteriet . Hentet aug. 5, 2004.

Links

Andrey J. Hanson. Visualisering af Fermat's Last Theorem- logo på YouTube : [transl. fra engelsk] - Indiana University Department of Computer Sience og Center for Innovative Computer Applications. (1990)

Tematiske steder

Åbn mappe

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNF : 12103508g GND : 4154012-8 J9U : 987007529001405171 LCCN : sh85047828 LNB : 000204373 NKC : ph135438