Betinget ekstremum

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Betinget ekstremum - den maksimale eller minimale værdi, som en funktion defineret på et sæt og tager reelle værdier, når under den antagelse, at værdierne af nogle andre funktioner med samme definitionsdomæne er underlagt visse restriktive betingelser (hvis der er ingen sådanne yderligere betingelser, så taler de om et ubetinget ekstremum ) [1] . $G$

Især kan mængden være en delmængde af et aritmetisk vektorrum, og ovenstående begrænsninger kan til gengæld angives som ligheder eller uligheder . Nedenfor betragter vi det klassiske betingede ekstremum-problem , hvor alle betingelser er givet i form af ligheder, samt Lagrange-problemet , et af de klassiske problemer i variationsregningen [1] . $G$ $\mathbb{R} ^{n},$

Udtalelse af det klassiske problem for et betinget ekstremum

Lad være et åbent sæt , og funktioner er givet på det ${G\subset \mathbb {R} ^{n))$ $y_{i}=f_{i}({\vec {x))),\;i=1,2,\dots ,m.$ $E=\lbrace \,{\vec {x}}\in G:\,f_{i}({\vec {x}})=0\;\;\forall \,i=1,2 ,\dots ,m\,\rbrace .$

Ligninger

(*)\qquad f_{i}({\vec {x)))=0

kaldes begrænsningsligninger (terminologien er lånt fra mekanik ).

Lad også en funktion på defineres Et punkt kaldes et punkt for et betinget ekstremum af en given funktion i forhold til begrænsningsligningerne, hvis det er et punkt for det sædvanlige (ubetingede) ekstremum af en funktion på en mængde (modifikation af definitionen af et ekstremum reducerer til det faktum, at i stedet for kvarterer i , dvs. kvarterer i betragtes i det, så har ) [2] . $G$ $y=f_{0}({\vec {x))).$ ${\vec {x}}_{0}\in E$ $(*),$ ${\displaystyle f_{0))$ $E$ $G$ $U_{G}({\vec {x}}_{0})$ $E$ $U_{E}({\vec {x}}_{0})=U_{G}({\vec {x}}_{0})\bigcap E$

Metode til Lagrange-multiplikatorer til løsning af det betingede ekstremum-problem

Sætning

Lad os antage, at alle de funktioner, der optræder i formuleringen af det klassiske problem for det betingede ekstremum, er kontinuerligt differentiable , og lad os være punktet for funktionens betingede ekstremum, når begrænsningsligningerne er opfyldt. Så på dette tidspunkt er gradienterne lineære afhængig , dvs. men [3] . ${\vec {x}}_{0}$ ${\displaystyle f_{0))$ $(*).$ $\nabla f_{i},\,i=0,1,\dots ,m$ $\exists \,\lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m\,\colon \;\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i }|\neq 0,$ $\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}=0$

Tallene kaldes Lagrange multiplikatorer og defineres op til multiplikation med en vilkårlig ikke-nul konstant. Af størst interesse er tilfældet, når (ved at gange alt med en passende ikke-nul konstant, kan du gøre faktoren lig og dermed helt udelukke den fra overvejelse). I en sådan situation, i stedet for den netop formulerede sætning, bruges følgende konsekvens heraf [4] . $\lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m$ $\lambda _{0}\neq 0$ $\lambda _{{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{0))$ $en$

Konsekvens

Hvis er et punkt i det betingede ekstremum af funktionen med hensyn til begrænsningsligningerne og gradienterne i det er lineært uafhængige , så sådan at ved et givet punkt I koordinatform er denne vektorlighed ækvivalent med opfyldelsen af lighederne ${\vec {x}}_{0}$ ${\displaystyle f_{0))$ $(*),$ $\nabla f_{i},i=1,\dots ,m$ ${\displaystyle \exists \,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$ $\nabla f_{0}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\dots +\lambda _{m}\nabla f_{m}=0.$

(**)\qquad {\frac {\partial f_{0}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\lambda _{1}{ \frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\dots +\lambda _{m}{\frac {\partial f_{ m}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})=0\,,

hvor [3] . $i=1,\dots ,n$

Ligestillinger kan gives følgende fortolkning. Lad os antage, at disse ligheder gælder for tal, og kombinere dem til en kolonne . Sammensæt Lagrange-funktionen : $(**)$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$ ${\vec {\lambda }}_{0}.$

L({\vec {x));{\vec {f)),{\vec {\lambda )))=f_{0}({\vec {x)))+\sum _{i =1}^{m}\lambda _{i}\,f_{i}({\vec {x)))\,,

hvor er vilkårlige tal. Så er punktet et stationært punkt i Lagrange-funktionen, og lighederne kan skrives som ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$ ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ ${\vec {x}}_{0}$ $(**)$

{\frac {\partial L}{\partial x_{1))}\,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{2))}\,=\,\dots \ ,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{n))}\,=\,0\,;

disse relationer er punktets stationaritetsbetingelser . Tilføjer vi begrænsningsligningerne til dem, får vi ligninger for de ukendte [5] [6] . ${\vec {x}}_{0}.$ $(*),$ $n+m$ $n+m$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m))$

Eksempel. Find siderne af et rektangel med det maksimale areal indskrevet i en cirkel Her komponerer Lagrange-funktionen $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ $n=2,$ $m=1,$ $f_{0}(x,y)=4xy,$ $f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$

L(x,y)\,=\,4xy+\lambda (x^{2}+y^{2}-r^{2})

og skrive betingelserne for dens stationaritet ved det betingede ekstremum punkt

{\frac {\partial L}{\partial x))\equiv 4y+2\lambda x\,=\,0\,,\qquad {\frac {\partial L}{\partial y)) \equiv 4x+2\lambda y\,=\,0\,,

finder vi: og (rektangel med maksimalt areal viste sig at være et kvadrat ) [6] . $\lambda =-2$ $x=y=r/{\sqrt {2}}$

En tilstrækkelig betingelse for et betinget ekstremum

Hvis lighederne for er opfyldt og samtidig (det antages desuden, at på det tidspunkt, at alle de funktioner, der optræder i formuleringen af det klassiske problem for et betinget ekstremum, er to gange kontinuerligt differentierbare) er en negativ (positiv) bestemt andengradsform af variablerne, så er det et punkt på et strengt betinget maksimum af funktionen (et strengt betinget minimum for positiv bestemt form). Hvis den betragtede kvadratiske form ikke er fortegnsbestemt, er der ikke noget betinget ekstremum [7] . $(**)$ ${\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}$ ${\vec {x}}_{0}$ ${\rm {d}}^{2}L$ ${\rm {d}}x_{1},\dots ,{\rm {d}}x_{n},$ ${\vec {x}}_{0}$ ${\displaystyle f_{0))$

Lagrange-problemet

Dette problem hører til variationsregningen og er en af de mulige generaliseringer af det klassiske problem for et betinget ekstremum. I Lagrange-problemet er det nødvendigt at finde en kontinuerligt differentierbar funktion givet på et segment og levere et ekstremum (maksimum eller minimum) til det funktionelle ${\vec {x}}={\vec {x}}(t),$ $[t_{0},t_{1}]$

J\;=\;\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,\,{\rm {d}}t

(prikken angiver driften af differentiering med hensyn til ) under faste grænsebetingelser og opfyldelsen af begrænsningsligningerne $t$ ${\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0},$ ${\vec {x}}(t_{1})={\vec {x}}_{1}$

f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,=\,0\,,

hvor [8] [9] . $i=1,2,\dots ,m$

I dette problem er metoden med Lagrange-multiplikatorer også anvendelig. Hvis vi antager, at begrænsningsligningerne er uafhængige, introducerer vi ukendte funktioner i betragtning og reducerer det oprindelige problem til et ubegrænset optimeringsproblem, og erstatter integranden med funktionen $m$ $\lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)$

\Phi \,=\,F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,+\,\sum _ {i=1}^{m}\lambda _{i}(t)\,f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}} }(t))\,;

som en analog til lighederne (dvs. i rollen som nødvendige betingelser for et ekstremum) virker Euler-Lagrange-ligningerne nu , som i det pågældende tilfælde har formen $(**)$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\dot {x}}_{k}}}- {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{k))}\,=\,0\,,

hvor Ud fra disse almindelige differentialligninger , suppleret med begrænsningsligningerne, finder man (under hensyntagen til de eksisterende randbetingelser) ukendte funktioner [10] . $k=1,2,\dots ,n.$ $n$ $n+m$ $x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t),\lambda _{1}(t),\dots ,\lambda _{m}(t)$

Se også

Noter

↑ 1 2 Vapnyarsky I. B. . Betinget ekstremum // Mathematical Encyclopedia. T. 5 / Ch. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. Arkivkopi dateret 17. november 2020 på Wayback Machine - 1248 stb. - Stb. 565-566.
↑ Kudryavtsev, bind 2, 1981 , s. 92-93.
↑ 1 2 Kudryavtsev, bind 2, 1981 , s. 96.
↑ Alekseev, Tikhomirov, Fomin, 1979 , s. 48.
↑ Kudryavtsev, bind 2, 1981 , s. 96-97.
↑ 1 2 Korn og Korn, 1978 , s. 336.
↑ Kudryavtsev, bind 2, 1981 , s. 110.
↑ Alekseev, Tikhomirov, Fomin, 1979 , s. 40-41, 80-81.
↑ Korn og Korn, 1978 , s. 346-349.
↑ Korn og Korn, 1978 , s. 348-349.

Litteratur

Alekseev V. M. , Tikhomirov V. M. , Fomin S. V. . Optimal kontrol. — M .: Nauka , 1979. — 432 s.
Korn G., Korn T. . Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. 4. udg. — M .: Nauka , 1978. — 832 s.
Kudryavtsev L. D. . Kursus i matematisk analyse. T. 2. - M .: Højere skole , 1981. - 584 s.