Bargmann-Wigner ligninger

Bargmann-Wigner-ligningerne er relativistisk invariante multikomponent-spinorligninger for bevægelse af frie partikler med ikke-nul masse og vilkårligt spin . [en]

Modtog navnet til ære for Valentine Bargman og Eugene Wigner .

Historie

Paul Dirac udgav først Diracs ligning i 1928 og generaliserede den senere (1936) til partikler med et hvilket som helst halvt heltals spin, før Fiertz og Pauli efterfølgende fandt de samme ligninger i 1939 og omkring et årti før Bargmann og Wigner. [2] Eugene Wigner skrev et papir i 1937 om enhedsrepræsentationer af den inhomogene Lorentz-gruppe eller Poincaré-gruppe . [3] Wigner bemærker, at Ettore Majorana [4] og Dirac brugte infinitesimale operatorer og klassificerer repræsentationer som irreducible, faktorielle og unitære.

I 1948 offentliggjorde Valentin Bargman og Wigner de ligninger, der nu er opkaldt efter dem, i et papir om en gruppeteoretisk diskussion af relativistiske bølgeligninger. [5]

Formulering af ligningerne

For en fri elektrisk neutral massiv partikel med spin er BV-ligningerne et system af lineære partielle differentialligninger , som hver har en matematisk form, der ligner Dirac-ligningen . Ligningssystemet har formen [2] [6] [7] [8] [9] $j$ $2j$

{\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P))_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{ 1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\venstre(-\gamma ^{\ mu }{\hat {P}}_{\mu}+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{ 2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\ mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha ' _{2j}}=0\\\end{aligned}}

og følger den generelle regel;

$\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu}+mc\right)_{\alpha _{r}\alpha '_{r}}\psi _ {\alpha _{1}\cdots \alpha '_{r}\cdots \alpha _{2j))=0$

( 1 )

for . $r=1,2,...2j$

BV'ens bølgefunktion har komponenter $\psi =\psi (\mathbf {r} ,t)$

\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j))(\mathbf {r} ,t)

og er et 4-komponent spinorfelt af rang 2j. Hvert indeks antager værdierne 1, 2, 3 eller 4, det vil sige, at der er en komponent af hele spinorfeltet , selvom en fuldt symmetrisk bølgefunktion reducerer antallet af uafhængige komponenter til . Dernæst er Dirac-matricerne , og ${\displaystyle 4^{2j))$ $\psi$ $2(2j+1)$ $\gamma ^{\mu }=(\gamma ^{0},\mathbf {\gamma } )$

{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }

er den firedimensionelle momentumoperator .

Operatoren, der udgør hver ligning, er en matrix af dimension , fordi matricerne, og er skalar multipliceret med identitetsmatrixen af dimension (normalt ikke skrevet for enkelhedens skyld). Eksplicit i Dirac-repræsentationen af Dirac-matricer : [2] $(-\gamma ^{\mu}P_{\mu}+mc)=(-i\hbar \gamma ^{\mu}\partial _{\mu}+mc)$ $4 gange 4$ $\gamma ^{{\mu ))$ $mc''$ $4 gange 4$

{\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{ c))-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\ \0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{ 2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\ hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c ))+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p} }_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0 \\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E }}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}

hvor er en vektor, hvor hver komponent er en Pauli-matrix , er en energioperator, er en tredimensionel momentumoperator , angiver en identitetsmatrix af dimension , nuller (i anden linje) angiver en blokmatrix af dimension sammensat af nul matricer . $\mathbf {\sigma } =(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ $E$ $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})=(p_{x},p_{y},p_{z})$ $I_{2}$ $2\ gange 2$ $2\ gange 2$

BV-ligningerne har nogle egenskaber for Dirac-ligningen:

BV-ligningerne er Lorentz-kovariante ,
alle komponenter i løsningen af BV-ligningerne opfylder Klein-Gordon-ligningen og opfylder derfor den relativistiske energi-moment-relation ,

E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}

BV-ligningerne tillader anden kvantisering .

I modsætning til Dirac-ligningen, som kan tage højde for virkningen af et elektromagnetisk felt ved at inkludere et udtryk, der beskriver den minimale elektromagnetiske interaktion , indeholder BV-formalismen, når man forsøger at tage hensyn til den elektromagnetiske interaktion, interne modsigelser og vanskeligheder. Det er med andre ord umuligt at lave en ændring i BV-ligningerne , hvor er den elektriske ladning af partiklen og er det elektromagnetiske potentiale . [10] [11] Elektromagnetiske 4-strømme og multipolypartikler bruges til at studere elektromagnetiske interaktioner i dette tilfælde . [12] [13] ${\displaystyle P_{\mu }\rightarrow P_{\mu}-eA_{\mu ))$ $e$ $A_{\mu }=(A_{0},\mathbf {A} )$

Lorentz-gruppens struktur

Repræsentation af Lorentz-gruppen for BV-ligningerne: [10]

D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{ (0,1/2)}\right]\,.

hvor betegner en irreducerbar repræsentation. ${\displaystyle D_{r))$

Se også

Dirac-ligninger for to legemer
Generaliseringer af Pauli-matricer
Wigner D-matrix
Weil-Brauer-matricer
Dirac-matricer af højere dimensioner
Joos-Weinberg-ligningerne er alternative ligninger, der beskriver frie partikler med ethvert spin.
Teori om højere spins

Kilder

Noter

^ Denne artikel bruger Einsteins summeringskonvention for tensor / spinor - indekser og bruger cirkumflekssymbolet til at repræsentere kvanteoperatorer .
↑ 123 E.A. _ _ Jeffery (1978). "Komponentminimering af Bargman-Wigner-bølgefunktionen". Australian Journal of Physics . 31 (2): 137. Bibcode : 1978AuJPh..31..137J . DOI : 10.1071/ph780137 .
↑ E. Wigner (1937). "Om enhedsrepræsentationer af den inhomogene Lorentz-gruppe" (PDF) . Annals of Mathematics . 40 (1): 149-204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W . DOI : 10.2307/1968551 . JSTOR 1968551 . Arkiveret (PDF) fra originalen 2015-10-04 . Hentet 2022-09-12 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ E. Majorana Relativistisk teori om en partikel med et vilkårligt indre vinkelmoment // L. Michel, M. Schaaf Symmetry in quantum physics. - M., Mir , 1974. - s. 239-247
↑ Bargmann, V.; Wigner, E.P. (1948). "Gruppeteoretisk diskussion af relativistiske bølgeligninger" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 34 (5): 211-23. Bibcode : 1948PNAS...34..211B . DOI : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 . Linjeskifttegn |journal=ved position #16 ( hjælp )
↑ RK Loide; I.Ots; R. Saar (2001). "Generaliseringer af Dirac-ligningen i kovariant og Hamiltonsk form". Journal of Physics A. 34 (10): 2031-2039. Bibcode : 2001JPhA...34.2031L . DOI : 10.1088/0305-4470/34/10/307 .
↑ H. Shi-Zhong; R. Tu-Nan; W. Ning; Z. Zhi-Peng (2002). "Bølgefunktioner for partikler med vilkårlig spin" . Kommunikation i teoretisk fysik . 37 (1): 63. Bibcode : 2002CoTPh..37...63H . DOI : 10.1088/0253-6102/37/1/63 . Arkiveret fra originalen 2012-11-27 . Hentet 2022-09-12 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ Lyakhovsky V.D. , Bolokhov A.A. Symmetrigrupper og elementarpartikler. - L., Leningrad State University , 1983. - s. 326 - 327
↑ Novozhilov Yu.V. Introduktion til teorien om elementarpartikler. - M., Nauka , 1972. - s. 150 - 153
↑ 1 2 T. Jaroszewicz; PS Kurzepa (1992). "Geometri af rumtidsudbredelse af spindende partikler". Fysikkens annaler . 216 (2): 226-267. Bibcode : 1992AnPhy.216..226J . DOI : 10.1016/0003-4916(92)90176-M .
↑ C.R. Hagen . Bargmann-Wigner-metoden i Galilean relativitetsteori, s. 97-108.
↑ Cedric Lorce (2009), Elektromagnetiske egenskaber for vilkårlige spinpartikler: Del 1? Elektromagnetisk strøm og multipolnedbrydning, arΧiv : 0901.4199 [hep-ph].
↑ Cedric Lorce (2009). "Elektromagnetiske egenskaber for vilkårlige spinpartikler: Del 2? Naturlige øjeblikke og tværgående ladningstætheder. Fysisk gennemgang D. 79 (11):113011 . arXiv : 0901.4200 . Bibcode : 2009PhRvD..79k3011L . DOI : 10.1103/PhysRevD.79.113011 . S2CID 17801598 .

Yderligere læsning

Bøger

Weinberg, S, The Quantum Theory of Fields, bind II
Weinberg, S, The Quantum Theory of Fields, bind III
R. Penrose. Vejen til virkeligheden. - Vintage bøger, 2007. - ISBN 978-0-679-77631-4 .

Udvalgte artikler

EN Lorenz (1941). "En generalisering af Dirac-ligningerne" . PNAS . 27 (6): 317-322. Bibcode : 1941PNAS...27..317L . DOI : 10.1073/pnas.27.6.317 . PMC 1078329 . PMID 16588466 .
VV Dvoeglazov . Den modificerede Bargmann-Wigner formalisme for højere spin felter og relativistisk kvantemekanik.
D. N. Williams (1965). "Dirac-algebraen for ethvert spin" (PDF) . Forelæsninger i teoretisk fysik . 7A . University Press i Colorado. pp. 139-172.
H. Shi-Zhong; Z. Peng-Fei; R. Tu-Nan; Z. Yu-Can; Z. Zhi-Peng (2004). "Projektionsoperatør og Feynman-propagator for en gratis massiv partikel af vilkårlig spin" . Kommunikation i teoretisk fysik . 41 (3): 405-418. Bibcode : 2004CoTPh..41..405H . DOI : 10.1088/0253-6102/41/3/405 .
V.V. Neznamov (2006). "Om teorien om interagerende felter i Foldy-Wouthuysen repræsentation". Phys. En del. Nucl . 37 (2006): 86-103. arXiv : hep-th/0411050 . Bibcode : 2004hep.th...11050N . DOI : 10.1134/S1063779606010023 . S2CID 16681061 .
H. Stumpf . Generaliserede de Broglie-Bargmann-Wigner-ligninger, en moderne formulering af de Broglie's Fusion Theory , s. 785.
DGC McKeon & TN Sherry (2004), The Bargmann-Wigner Equations in Spherical Space, arΧiv : hep-th/0411090 .
Kvantefeltteori , s. 61-69. Hentet 27. oktober 2016.
H. Stumpf . Egentilstande af generaliserede de Broglie-Bargmann-Wigner-ligninger for fotoner med partonisk understruktur , s. 726-736.
B. Schroer (1997). "Wigner-repræsentationsteori for Poincare-gruppen, lokalisering, statistik og S-matrix". Kernefysik B . 499 (3): 519-546. arXiv : hep-th/9608092 . Bibcode : 1997NuPhB.499..519S . DOI : 10.1016/S0550-3213(97)00358-1 . S2CID 18003852 .
Fra galilæisk-invariante til relativistiske bølgeligninger , s. 884.
DV Ahluwalia (1997). “Boganmeldelse: The Quantum Theory of Fields Vol. I og II af S. Weinberg”. Fundet. Phys . 10 (3): 301-304. arXiv : fysik/9704002 . Bibcode : 1997FoPhL..10..301A . doi : 10.1007/ bf02764211 . S2CID 189940978 .
JA Morgan (2005). Paritet og Spin-Statistics Connection. Pramana . 65 (3): 513-516. arXiv : fysik/0410037 . Bibcode : 2005Prama..65..513M . DOI : 10.1007/BF02704208 . S2CID 119416196 .

Eksterne links

Relativistiske bølgeligninger:

Lorentz grupper i relativistisk kvantefysik: