Relation (mængdeteori)

En relation er en matematisk struktur , der formelt definerer egenskaberne for forskellige objekter og deres relationer. Almindelige eksempler på sammenhænge i matematik er lighed (=) , delelighed , lighed , parallelisme og mange andre.

Begrebet en relation som en delmængde af et kartesisk produkt er formaliseret i mængdeteori og er blevet udbredt i matematiksproget i alle dets grene. Den mængdeteoretiske opfattelse af en relation karakteriserer den volumenmæssigt - hvilke kombinationer af elementer den er fyldt med; en meningsfuld tilgang betragtes i matematisk logik , hvor relationen er en propositionel funktion , det vil sige et udtryk med ubestemte variabler, som substitution af specifikke værdier gør det sandt eller falsk. Relationer spiller en vigtig rolle i universel algebra , hvor det grundlæggende studieobjekt for afsnittet er et sæt med et vilkårligt sæt af operationer og relationer. En af de mest slående anvendelser af teknikken til matematiske relationer i applikationer er relationelle databasestyringssystemer , metodisk baseret på formel relationel algebra .

Relationer er normalt klassificeret efter antallet af relaterede objekter ( aritet ) og deres egne egenskaber såsom symmetri , transitivitet , refleksivitet .

Formelle definitioner og notation

$n$ -lokal ( -ær ) relation defineret på mængder er en delmængde af det kartesiske produkt af disse mængder: . Det faktum, at elementer er forbundet med en relation , er betegnet med eller . $n$ $R$ $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$ ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n))$ $n$ $\langle m_{1}\in M_{1},m_{2}\in M_{2},\dots m_{n}\in M_{n}\rangle$ $R$ $R(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})$ $(m_{1},m_{2},\dots,m_{n})\in R$

Kendsgerningen om forbindelsen mellem objekter og en binær relation er normalt angivet ved hjælp af infix-notationen : . Enkelte (unære) relationer svarer til egenskaber eller attributter, i sådanne tilfælde bruges terminologien for relationer som regel ikke. Nogle gange bruges trestedsrelationer ( ternære ), firestedsrelationer (kvartære); relationer af uendeligt høj aritet omtales som "multiære", "mangeplacerede". $m_{1}\in M_{1}$ $m_{2}\in M_{2}$ ${\displaystyle R\subset M_{1}\ gange M_{2))$ ${\displaystyle m_{1}\,R\,m_{2))$

En universel relation er en relation, der forbinder alle elementer i givne mængder, det vil sige sammenfaldende med det kartesiske produkt:. En null-relation er en relation, der ikke forbinder nogen elementer, det vil sige et tomt sæt :. ${\displaystyle R=M_{1}\ gange M_{2}\ gange \dots M_{n))$ ${\displaystyle R=\varnothing \subset M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n))$

En funktionel relation er en relation, der danner en funktion : er funktionel, hvis det følger af udførelsen , at ( det unikke af funktionens værdi er sikret). ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}\dots M_{n+1))$ $R(m_{1},\dots,m_{n},x)$ $R(m_{1},\dots,m_{n},y)$ $x=y$

Generelle egenskaber og typer af binære relationer

De mest almindelige relationer i matematiksproget er binære over ét sæt ( ), oftest brugt med nogle fælles egenskaber [1] : $R\subseteq M^{2}$

symmetri ( ) eller antisymmetri ( ), $a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a$ $a\,R\,b\,\wedge \,b\,R\,a\Højrepil a\,=\,b$
refleksivitet ( ) eller anti -refleksivitet , $a\,R\,a$ $\neg \,(a\,R\,a)$
transitivitet ( ) eller antitransitivitet ( ), $a\,R\,b\land b\,R\,c\Højrepil a\,R\,c$ $a\,R\,b\land b\,R\,c\Højrepil \neg \,a\,R\,c$
forbindelse ( ). $a\neq b\Rightarrow a\,R\,b\lor b\,R\,a$

Afhængigt af sæt af egenskaber for binære relationer dannes nogle udbredte typer af dem:

ækvivalensrelation - enhver refleksiv , transitiv og symmetrisk relation;
forudbestillingsrelationen er refleksiv og transitiv;
partiel ordensrelation - refleksiv, transitiv og antisymmetrisk;
forhold af streng orden - antirefleksiv, transitiv, antisymmetrisk;
den lineære ordensrelation er forbundet, refleksiv, antisymmetrisk.

En vigtig rolle spilles af lighedsrelationen - ækvivalensrelationen, udført kun for to sammenfaldende elementer.

Der kan være andre kombinationer af egenskaber af relationer, for eksempel transitive og refleksive, men har ikke andre simple egenskaber, delelighedsrelationen på mængden af naturlige tal , normalt betegnet med symbolet , den består af par af formen , hvor deler sig jævnt. Et eksempel på en ternær relation er dannelsen af en pythagoræisk tripel med tre tal, at være i forhold til en pythagoræisk firdobbel er et eksempel på en kvartær relation. $|$ $\langle x,y\rangle$ $x$ $y$

Et løsere sæt af egenskaber for binære relationer anvendes i grafteori : en urettet graf kan defineres som et sæt af hjørner med en symmetrisk binær relation over sig, og en rettet graf som et sæt af hjørner med en vilkårlig binær relation over sig.

Algebraer af relationer

Alle relationer over et kartesisk produkt danner en boolsk algebra under de mængdeteoretiske operationer union , skæring og komplement . $n$ ${\displaystyle M_{1}\times \dots \times M_{n))$

Relationel algebra er et lukket system af operationer på relationer i en relationel datamodel .

Noter

↑ Universelle kvantificatorer udeladt i formler

Litteratur

Relation - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . D. M. Smirnov
Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Introduktion til matematisk logik. - M . : Moscow Universitys forlag, 1982. - 120 s. — 29.500 eksemplarer.