Steiner-Poncelets sætning

Steiner - Poncelet  -  sætningen er en sætning fra området for geometriske konstruktioner , der siger, at enhver konstruktion, der kan udføres på et plan med et kompas og en lineal, kan udføres med én lineal, hvis mindst én cirkel er tegnet og dens centrum er markeret. .

Præcis formulering

Den klassiske formulering af sætningens betingelse kræver to forklaringer:

1. I nogle konstruktionsproblemer er det påkrævet at konstruere en cirkel med en eller anden egenskab. I hvilken forstand kan det bygges med en enkelt lineal? I teorien om konstruktioner med én lineal er det sædvanligt at antage, at en cirkel er bygget, hvis dens centrum og et vilkårligt punkt på den er bygget.

2. Betingelsen for Steiner-Poncelet-sætningen antager, at der ikke er yderligere kurver på planet, ellers bliver værktøjssættene "kompas + lineal" og "lineal + cirkel + dens centrum" muligvis ikke ækvivalente. For eksempel, hvis en parabel er tegnet på et plan , så kan en vilkårlig vinkel opdeles i tre lige store dele med et kompas og en lineal; på samme tid, hvis en parabel, en cirkel og dens centrum er tegnet på planet, så kan kun nogle (ikke alle) vinkler opdeles i tre lige store dele med en lineal.

Betingelsernes væsentlighed

Hvis en cirkel er tegnet på planet, men dens centrum ikke er markeret, kan mange, men ikke alle, konstruktioner udføres med en lineal. For eksempel er det muligt at konstruere en tangent til denne cirkel, men det er umuligt at konstruere dens centrum.

Åbent problem: beskriv hvilke konstruktioner der er mulige og hvilke der er umulige ved hjælp af en enkelt lineal, hvis en cirkel er angivet på planet og dens centrum ikke er givet

Åbent problem: To ikke-skærende cirkler er givet i et plan. Er det muligt at tegne en lige linje, der forbinder deres centre med en lineal?

Hvis en cirkel ikke er tegnet på planet, så bliver rækken af ​​konstruktioner, der kan udføres med en lineal, indsnævret endnu mere - især 4 punkter, der ligger på samme cirkel, kan ikke konstrueres med en lineal. Nogle ikke-trivielle konstruktioner kan dog udføres med en lineal, for eksempel:

Åbent problem: beskriv hvilke konstruktioner med en enkelt lineal der er mulige.

Buffs

Steiner-Poncelet-sætningen forbliver sand, selvom ikke hele cirklen er givet, men kun dens vilkårligt lille bue (og centrum).

Hvis der er givet to krydsende eller tangentcirkler på et plan, så kan du med en lineal udføre enhver konstruktion, der kan udføres med et kompas og en lineal.

Hvis der er angivet 3 ikke-skærende cirkler på planet, som ikke hører til den samme blyant, så kan man med en lineal udføre enhver konstruktion, der kan udføres med et kompas og en lineal.

Links

Se også