Abel summeringsformel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. august 2017; checks kræver 5 redigeringer .

Abel summationsformlen , introduceret af den norske matematiker Niels Henrik Abel , bruges ofte i talteorien til at vurdere summen af endelige og uendelige rækker.

Formel

Lade være en sekvens af reelle eller komplekse tal og være en funktion kontinuerligt differentierbar på strålen . Derefter $a_n$ $f(x)$ $[1,x)$

\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(u)f'( u)\,\mathrm {d} u

hvor

A(x):=\sum _{0<n\leq x}a_{n}\,.

Bevis

Lad os repræsentere begge sider af ligheden som funktioner af . Bemærk først, at for , er ligheden sand (integralet forsvinder). For det andet, for ikke-heltal, kan begge dele differentieres, hvilket opnår den korrekte lighed. Endelig, for et heltal, har venstre side et spring , funktionen har det samme spring , og integralet er kontinuerligt, det vil sige, det har et spring lig med nul. Således er formlen bevist for alle . $x$ $x=1$ $x$ $x$ $a_{x}f(x)$ $A(x)f(x)$ $x\geq 1$

Hvis seriens delsummer er begrænset, og , kan man ved at gå til grænsen opnå følgende lighed $a_n$ $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)=0$

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}f(n)=-\int \limits _{1}^{+\infty }A(u)f'(u)\ ,\mathrm {d} u$

Generelt,

\sum _{x<n\leq y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y }A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u\,.

Eksempler

Euler-Mascheroni-konstanten

For og det er da nemt at se det $a_{n}=1$ $f(x)={\frac {1}{x}}\,,$ $A(x)=\lgulv x\rgulv ,$

\sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor}{x}}+\int _{1}^{x }{\frac {\lgulv u\rgulv }{u^{2))}\,\mathrm {d} u={\frac {\lgulv x\rgulv}{x))+\mathrm {ln} (x )-\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\mathrm {d} u

overfører logaritmen til venstre side og passerer til grænsen, får vi udtrykket for Euler-Mascheroni-konstanten :

$\gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\,du$ , hvor er brøkdelen af tallet . $\venstre\{t\højre\}$ $t$

Repræsentation af Riemann zeta-funktionen

For og tilsvarende da $a_{n}=1$ $f(x)={\frac {1}{x^{s))}\,,$ $A(x)=\lgulv x\rgulv ,$

\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s))}\mathrm {d} u=s\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {u}{u^{1+s))}\ mathrm {d} u-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\right)=1+{ \frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u \,.

Denne formel kan bruges til at definere zeta-funktionen i et domæne , da integralet i dette tilfælde konvergerer absolut. Derudover følger det af den, at den har en simpel pol med en rest på 1 i punktet s = 1. $\Re(s)>0,$ $\zeta (s)$