Sum (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Sum ( lat. summa - total, total) i matematik - resultatet af at anvende operationen med at addere størrelser ( tal , funktioner , vektorer , matricer osv. ), eller resultatet af sekventielt at udføre flere additionsoperationer (summation). Fælles for alle tilfælde er egenskaberne for kommutativitet , associativitet og også distributivitet med hensyn til multiplikation (hvis multiplikation er defineret for de betragtede mængder), det vil sige opfyldelsen af relationerne:

a+b=b+a,

a+(b+c)=(a+b)+c,

(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,

c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b,

I mængdeteori er en sum (eller forening) af mængder en mængde, hvis elementer er alle elementerne i de kombinerede mængder, taget uden gentagelse.

Også addition (at finde summen) kan defineres for mere komplekse algebraiske strukturer (sum af grupper , sum af lineære rum , sum af idealer og andre eksempler). I kategoriteori er begrebet summen af objekter defineret.

Summen af naturlige tal

Lad mængden indeholde elementer, der danner en delmængde , og elementer, der danner en delmængde ( , a og b er naturlige tal). Så vil den aritmetiske sum være antallet af elementer , der danner delmængden opnået ved den disjunktive forening af de to oprindelige delmængder $\mathbb {N}$ $-en$ $EN$ $b$ $B$ $A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N}$ $a+b$ $c$ $C\subset \mathbb {N}$ $C=A\sqcup B.$

Algebraisk sum

Summen er matematisk angivet med det græske store bogstav Σ (sigma) .

\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n- 1}+a_{n}

hvor: i — summeringsindeks; a i er en variabel, der angiver hvert medlem i serien; m er den nedre grænse for summering, n er den øvre grænse for summation. Notationen "i = m" under summeringssymbolet betyder, at startværdien af indeks i svarer til m . Af denne notation følger det, at indekset i øges med 1 i hvert led i udtrykket og stopper, når i = n . [en]

Ved programmering svarer denne procedure til en for -løkke .

Optagelseseksempler

\sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+{...}+99+100

\sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86

Grænser kan udelades fra posten, hvis de er klare fra konteksten:

\sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.

En iterator kan være et udtryk - så formateres variablen med parenteser som en funktion " ". For eksempel summen af alle med naturlige tal i et bestemt område: $f()$ $f(k)$ $k$

\sum _{0\leq k<100}f(k).

Summen af elementerne i sættet : $f(x)$ $x$ $S$

\sum _{x\mathop {\in } S}f(x).

Summen af alle positive tal , der er divisorer af et tal : $\mu (d)$ $d$ $n$

\sum _{d|n}\;\mu (d).

Flere indekser kan bruges under det iterative summeringstegn, for eksempel:

\sum _{i,j}=\sum _{i}\sum _{j},

desuden kan et sæt af flere indeks reduceres i form af et såkaldt multi -indeks .

Uendeligt beløb

I matematisk analyse er begrebet en række defineret - summen af et uendeligt antal led.

Eksempler på fortløbende summer

1. Summen af en aritmetisk progression :

\sum _{{i=0}}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}

2. Summen af en geometrisk progression :

\sum _{{i=0}}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{{n+1}}}{1 -b}}

3. $\sum \limits _{{k=1}}^{n}k^{3}=\venstre[{\frac {n(n+1)}{2}}\højre]^{2}=\venstre (\sum \limits _{{k=1}}^{n}k\right)^{2}$

fire. $\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\ venstre(1-{\frac {1}{p^{{n+1))))\right),\quad p\neq 1,n\geq 0$

Bevis

\sum _{{i=0}}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{{i=0}}^{n }{1\cdot {{\frac {1}{p^{i))))}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p))\right)} ^{{n+1}}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {{\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{{ n+1}}}}}{{\frac {p-1}{p}}}}={\frac {p^{{n+1}}-1}{p^{n}(p-1 )}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{{n+1}}}}\right)

5. $\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-(n+1)p^{{n+1}}+p }{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1$

Bevis

\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}=\sum _{{i=1}}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{{i= 1}}^{n}ip^{{i-1}}=p\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}(i+1)p^{i}=p \cdot \left(\sum _{{i=0}}^{{n-1}}{ip^{i}}+\sum _{{i=0}}^{{n-1}}p ^{i}\right)=p\cdot \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p ^{n}}{1-p}}\Højrepil

\Højrepil (1-p)\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{{n+1}}(1-p)+pp^{ {n+1}}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}

6. $\sum _{{i=0}}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{ i})+n+1,\quad p\neq 1$

Bevis

(p-1)\sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\sum _{{i= 0}}^{n}((ni)p^{i})+n+1=(p-1)\venstre(n\cdot \sum _{{i=0}}^{n}p^{ i}-\sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}\right)+n+1=

=(p-1)\venstre(n\cdot {\frac {1-p^{{n+1}}}{1-p}}-{\frac {np^{{n+2}}-( n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}\right)+n+1=

={\frac {np^{{n+2}}-np-np^{{n+1}}+n-np^{{n+2}}+np^{{n+1}}+p ^{{n+1}}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=

={\frac {p^{{n+1}}-1}{p-1}}=\sum _{{i=0}}^{n}p^{i}

For eksempel, når det viser sig , og dette er en sekvens af ligheder i følgende form:

p=10

\sum _{{i=0}}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{{i=0}}^{{n-1}}((ni)10^{i} )+n+1

1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234 +5

Ubestemt beløb

En ubestemt sum over er en sådan funktion , betegnet med , at . $a_{i}$ $jeg$ $f(i)$ $\sum _{{i}}^{{}}a_{i}$ $\forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i}$

Den "diskrete" Newton-Leibniz formel

Hvis "afledt" er fundet , så . $a_{i}=f(i+1)-f(i)$ $\sum_{i=a}^b a_i = f(b+1)-f(a)$

Etymologi

Det latinske ord summa er oversat som "hovedpunkt", "essens", "total". Fra 1400-tallet begynder ordet at blive brugt i moderne betydning, og verbet "at opsummere" optræder også (1489).

Dette ord er trængt ind i mange moderne sprog: sum på russisk, sum på engelsk, somme på fransk.

Det specielle symbol til at betegne summen ( Σ ) blev først indført af Leonhard Euler i 1755, det blev støttet af Lagrange , men længe konkurrerede tegnet S med dette symbol.Betegnelsen Σ for summen blev endelig godkendt allerede i 1700-tallet af Fourier og Jacobi [2] .

Kodning

Unicode har sumsymbolet U+2211 ∑ n-ær summation (HTML ∑ • ∑).

Se også

Noter

↑ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Kapitel 2: Summer // Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2. udgave ) . - Addison-Wesley Professional , 1994. - ISBN 978-0201558029 . (utilgængeligt link)
↑ Alexandrova N. V. Historie om matematiske termer, begreber, notation: Ordbogsopslagsbog . - 3. udg. - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - S. 175 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .

Litteratur

Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - 7. - M. : Nauka, 1969. - T. 1. - 608 s. — 100.000 eksemplarer.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4193845-8

Sum (matematik)

Summen af ​​naturlige tal

Algebraisk sum

Uendeligt beløb

Eksempler på fortløbende summer

Ubestemt beløb

Den "diskrete" Newton-Leibniz formel

Etymologi

Kodning

Se også

Noter

Litteratur

Summen af naturlige tal