Lagrange beslag
Lagrange-parenteser er en binær operation i Hamiltonsk mekanik, tæt beslægtet med en anden binær operation, Poisson-parenteser . Lagrange parentes blev introduceret af Lagrange i 1808-1810 for matematiske udtryk i klassisk mekanik . I modsætning til Poisson-beslag, bruges Lagrange-beslag praktisk talt ikke i dag.
Definition
Lad ( q 1 , …, q n , p 1 , …, p n ) være et system af kanoniske koordinater i faserummet . Hvis hver af dem er udtrykt som en funktion af to variable, u og v , så er Lagrange-parenteserne af u og v defineret af formlen
![{\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i)){\partial u)){\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\ ret).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05cf21cdb0f56601481458108913aab286f8349)
Det skal bemærkes, at denne formel falder sammen med definitionen af Poisson-parenteser op til en permutation af tællere og nævnere i de partielle afledte operatorer.
Egenskaber
- Lagrange-beslag (som Poisson-beslag) er antikommutative , hvilket er indlysende direkte fra definitionen:
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=-[v,u]_{q,p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816cbee5211de2b81419c9020357c2cf13fa9b4e)
- Lagrange-parenteserne afhænger ikke af det kanoniske koordinatsystem ( q , p ) . Hvis ( Q , P ) = ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) er et andet kanonisk koordinatsystem, så
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39051426dab031895942d32aa708c5f895a50060)
- Hvis Ω er et symbolsk rum i et 2n -dimensionelt faserum W og u 1 , …, u 2 n danner et koordinatsystem i W , så kan de kanoniske koordinater ( q , p ) udtrykkes som funktioner af koordinaterne u og Lagrange beslag matrix
![{\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d318870736b9e6f792068eb0bc938658ca24815)
- Som en konsekvens af de foregående egenskaber er koordinaterne ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) i faserummet kanoniske, hvis og kun hvis Lagrange-parenteserne mellem dem er af formen
![{\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{ i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb6a6f9cf25ec9d855845b153d7b81c97394963)
Se også
Litteratur
- Cornelius Lanczos . Mekanikkens variationsprincipper. - Dover, 1986. - ISBN 0-486-65067-7 .
- Patrick Iglesias. Les origines du calcul symplectique chez Lagrange // L'Enseign. Matematik. - 1998. - T. (2) 44 , no. 3-4 . — S. 257–277 . MR : 1659212
Links
- Eric W. Weisstein . Lagrange-beslag (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
- A. P. Soldatov. Encyclopedia of Mathematics / Hazewinkel, Michiel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .