Kanoniske koordinater

Kanoniske koordinater er uafhængige parametre i den Hamiltonske formalisme af klassisk mekanik . De er normalt betegnet som og . $q_{i}$ $p_{i}$

De kanoniske koordinater opfylder de grundlæggende relationer udtrykt i Poisson-parenteser :

\{q_i, q_j\} = 0 \qquad \{p_i, p_j\} = 0 \qquad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}

Kanoniske koordinater kan fås fra generaliserede lagrangiske koordinater ved hjælp af Legendre-transformationer eller fra et andet sæt kanoniske koordinater ved hjælp af kanoniske transformationer . Hvis Hamiltonian er defineret på cotangens bundtet, så er de generaliserede koordinater relateret til de kanoniske koordinater ved hjælp af Hamilton-Jacobi-ligningerne .

Selvom der kan være mange muligheder for at vælge de kanoniske koordinater for et fysisk system, vælges der normalt parametre, der er praktiske til at beskrive systemets konfiguration, og som forenkler løsningen af Hamilton-ligningerne.

Lignende begreber bruges også i kvantemekanikken , se Stone-von Neumann-sætningen og kanoniske kommuteringsrelationer .

Generalisering

Da Hamiltons mekanik matematisk er en symplektisk geometri , er kanoniske transformationer et særligt tilfælde af kontakttransformationer .

Kanoniske koordinater er defineret som et særligt sæt af koordinater på cotangensbundtet af en manifold . De skrives normalt som et sæt eller , hvor bogstavet x eller q angiver koordinater på manifolden, og bogstavet p betegner det konjugerede moment , som er en kovariant vektor i punktet q af manifolden. $(q^{i},p_{j})$ $(x^i,p_j)$

Den sædvanlige definition af kanoniske koordinater er et koordinatsystem på cotangensbundtet, hvor den kanoniske 1-form er skrevet som

\sum_i p_i\,\mathrm{d}q^i

op til tilføjelse af en samlet forskel. En ændring i koordinater, der bevarer denne slags, er en kanonisk transformation . Dette er et særligt tilfælde af symplectomorphism , som i det væsentlige er en ændring af koordinater på en symplektisk manifold .

Formel undersøgelse

Givet en reel manifold Q , så kan vektorfeltet X på Q (eller tilsvarende et udsnit af tangentbundtet TQ ) betragtes som en funktion, der virker på cotangensbundtet , på grund af tangentens dualitet og cotangente rum. Det er funktionen

P_X:T^*Q\to \mathbb{R}

sådan at

P_X(q,p)=p(X_q)

holder alle cotangente vektorer p inde . Her er en vektor i , tangentrummet for manifolden Q i punktet q . Funktionen kaldes momentfunktionen svarende til X. $T_q^*Q$ $X_q$ $T_qQ$ $P_X$

I lokale koordinater kan vektorfeltet X ved q skrives som

X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}

hvor er koordinatsystemet i TQ. Det konjugerede moment udtrykkes derefter som $\partial /\partial q^i$

P_X(q,p)=\sum_i X^i(q) \;p_i

hvor er defineret som funktioner af momentet svarende til vektorerne : $p_{i}$ $\partial /\partial q^i$

p_i = P_{\partial /\partial q^i}

$q^{i}$ danner sammen et koordinatsystem på cotangensbundtet . Disse koordinater kaldes kanoniske koordinater . $p_{j}$ $T^*Q$

Litteratur

Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko. Klassisk mekanik. — 3. - San Francisco: Addison Wesley, 2002. - s. 347-349. - ISBN 0-201-65702-3 .
Arnold VI Klassisk mekaniks matematiske metoder. - 5. udg., stereotypisk. - M. : Redaktionel URSS, 2003. - 416 s. - 1500 eksemplarer. — ISBN 5-354-00341-5 .