Fordeling (differentiel geometri)

En fordeling på en manifold er en underbundt af manifoldens tangentbundt. Med andre ord, ved hvert punkt vælges et lineært underrum af tangentrummet , som jævnt afhænger af punktet . $M$ $x\i M$ $\Delta _{x}$ $T_{x}M$ $x$

Fordelinger bruges i teorien om integrerbarhed og i teorien om foliations på en manifold.

Definition

Lade være en glat - dimensionel manifold og . Antag, at der i hvert punkt vælges et dimensionelt underrum af tangentrummet, således at ethvert punkt har et naboskab og lineært uafhængige glatte vektorfelter , og for ethvert punkt danner vektorerne grundlaget for underrummet . $M$ $n$ $k\leq n$ $x \i M$ $k$ $\Delta _{x}\subset T_{x}(M)$ $x\i M$ $U_{x}\subset M$ $k$ $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $y\in U_{x}$ $X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)$ $\Delta _{y}\subset T_{y}(M)$

I dette tilfælde kaldes samlingen af alle underrum , , -dimensionel fordeling på manifolden . $\Delta$ $\Delta _{x}$ $x \i M$ $k$ $M$

I dette tilfælde kaldes vektorfelterne det lokale grundlag for fordelingen $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $\Delta .$

Involutive distributioner

En fordeling på kaldes involutiv , hvis der i nærheden af hvert punkt er en lokal distributionsbasis, således at alle Lie-parenteserne af vektorfelter hører til det lineære spænd , det vil sige, at de er lineære kombinationer af vektorer . Betingelsen for at fordelingen er involutive skrives som . $\Delta$ $M$ $x \i M$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $[X_{i},X_{j}]$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $[X_{i},X_{j}]$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}.$ $\Delta$ $[\Delta ,\Delta ]\subset \Delta$

Involutive fordelinger er tangentmellemrum til foliationer . Involutive fordelinger er vigtige, fordi de opfylder betingelserne for Frobenius-sætningen og dermed fører til integrerbare systemer.

Definering af en distribution ved et 1-form system

På et åbent sæt kan den dimensionelle fordeling gives af et system af glatte 1-former defineret ved og lineært uafhængige ved hvert punkt: det er defineret af ligningerne . Hvis og er systemer af 1-former, der bestemmer fordelingen i og i , så i skæringspunktet formen , hvor er glatte funktioner sådan, at i . Hvis , vi siger, at det globale definerende system af former er givet . $U\undersæt M$ $k$ $\Delta$ ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{nk))$ $U$ $\omega _{i}(\xi )=0$ ${\displaystyle \{\omega _{1}\dots ,\omega _{nk}\))$ ${\displaystyle \{\omega _{1}',\dots ,\omega _{nk}'\))$ $\Delta$ $U$ $du'$ $U\cap U'$ ${\displaystyle \omega _{i}=\sum \phi _{ij}\omega _{j))$ ${\displaystyle \phi _{ij))$ $\det(\phi _{ij})\neq 0$ $U\cap U'$ $U=M$

Distributionsintegrerbarhed

$k$ En -dimensionel fordeling siges at være integrerbar , hvis der er en -dimensionel integral overflade, der passerer gennem hvert punkt, der tangerer fordelingen ved hvert af dets punkter. $x\i M$ $k$

Den endimensionelle fordeling er givet af et vektorfelt , der ikke forsvinder . En sådan fordeling er altid integrerbar på grund af den lokale eksistens- og unikhedssætning for løsninger til almindelige differentialligninger.

I det dimensionelle tilfælde er der både integrerbare og ikke-integrerbare distributioner. Frobenius - sætningen giver en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for en fordelings integrerbarhed. $k$ $k>1$

Frobenius' sætning i form af vektorfelter

Sætning: En dimensionsfordeling er integrerbar, hvis og kun hvis mængden af vektorer, der tangerer fordelingen, er lukket under Lie-parentesen . $k$

Involutive distributioner er således integrerbare.

Frobenius' sætning i form af 1-former

Sætning: -dimensionel fordeling givet af et system af glatte 1-former er integrerbar, hvis og kun hvis nogen differential $k$ ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{nk))$

${\displaystyle d\omega _{i}=\sum _{j}\eta _{j}^{i}\wedge \omega _{j))$ ,

hvor er glatte 1-former. Hvis de definerende former er uafhængige, er denne betingelse ækvivalent med systemet ${\displaystyle \eta _{j}^{i))$ $\omega _{{i}}$

$\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{nk}\wedge d\omega _{i}=0$ .

En integrerbar fordeling definerer en foliation på en manifold : dens fibre er integrerede fordelingsflader. Bemærk, at den dimensionelle fordeling altid er integrerbar, og derfor genererer den en dimensionel foliation . $\Delta$ $M$ $en$ $en$

Thurstons teorem

Thurstons sætning : På en lukket manifold er hver fordeling homotopisk integrerbar [1] , [2] .

For en åben manifold blev et kriterium for, at en fordeling er homotop til en eller anden integrerbar fordeling fundet af Haefliger [3] .

Se også

Noter

↑ W. Thurston , Theory of foliations of codimension larger than one - Comm. Matematik. Helv. 49 (1974), s. 214-231.
↑ W. Thurston , Eksistens af codimension one foliations - Ann. of Math., 104:2 (1976), s. 249-268.
↑ A. Haefliger , Feuilletages sur les variétés ouvertes - Topology, 9:2 (1970), pp. 183-194.

Litteratur

Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderne geometri. Metoder og anvendelser. — M .: Nauka, 1971.
Fomenko A. T. , Fuchs D. B. Et kursus i homotopi topologi. — M .: Nauka, 1989.