Sub-Riemannsk manifold

En sub-Riemann-manifold er et matematisk begreb, der generaliserer en Riemann-manifold . Essensen af generaliseringen er, at det skalære produkt ikke er defineret på hele tangentrummene , men kun på nogle af deres underrum (normalt af en fast dimension).

I en sub-riemannsk manifold er begrebet længde således ikke defineret for alle kurver , men kun for de såkaldte horisontale kurver (dem, der berører det tilsvarende underrum i hvert punkt). Den iboende metrik for en sub-Riemannsk manifold , der således opstår, kaldes Carnot-Carathéodory metrikken .

Definition

Lad være en jævn manifold af dimension , hvorpå en jævn fordeling af dimension er givet , dvs. ved hvert punkt gives et lineært underrum af tangentrummet , som jævnt afhænger af punktet . Underrum kaldes vandrette . Et vektorfelt og en kurve kaldes vandret , hvis de berører fordelingen ved hvert punkt (i tilfælde af en kurve, mener vi alle punkter, hvor kurven har en tangent ). $M$ $m$ $\Delta$ $n<m$ $x\i M$ $\Delta _{x}$ $T_{x}M$ $x$ $\Delta _{x}$ $M$ $\Delta$

En fordeling kaldes fuldstændig ikke-integrerbar eller fuldstændig ikke-holonomisk, hvis en hvilken som helst vektor i tangentrummet i hvert punkt kan repræsenteres som en lineær kombination af vektorer af formen $\Delta$ $x \i M$ $T_{x}M$

A,\ [A,B],\ [A,[B,C]],\ [A,[B,[C,D]]],\ \prikker

med nogle . Her betyder Lie-parentesen af vektorfelter.

A,B,C,D,\dots \in \Delta _{x}

[A,B]

En manifold med en fuldstændig ikke-integrerbar fordeling defineret på sig kaldes sub-riemannsk, hvis hvert vandret underrum er udstyret med et indre produkt g - en metrisk tensor , der skifter jævnt fra punkt til punkt. Med andre ord kaldes en tripel en sub-Riemannsk manifold . $M$ $\Delta$ $\Delta _{x}\delsæt T_{x}M$ $(M,\Delta,g)$

Relaterede begreber

Rashevsky-Chow-sætning

Rashevsky-Chow- sætningen siger, at for to punkter i en stiforbundet sub-Riemannmanifold er der en stykkevis jævn vandret kurve, der forbinder disse punkter. Denne teorem blev bevist uafhængigt af den sovjetiske matematiker P. K. Rashevsky (1938) [1] og den kinesiske matematiker Chow ( Wei-Liang Chow , 1939) [2] .

I denne teorem kan glathedsbetingelsen for en fuldstændig ikke-holonomisk fordeling svækkes og erstattes af Lippitz- betingelsen [3] .

Carnot-Carathéodory metrisk

Hver sub-Riemann-manifold har en metrisk defineret i analogi med en Riemann-manifold af formlen

d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot \gamma }(t),{\dot \gamma }(t))))\,dt ,

hvor infimum er taget langs alle mulige stykkevis glatte vandrette kurver, der forbinder punkterne x og y , dvs. , , , . Metrikken defineret på denne måde kaldes Carnot-Carathéodory-metrikken . $\gamma :[0,1]\til M$ $\gamma(0)=x$ $\gamma (1)=y$ $d(x,y)$

Noter

↑ Rashevsky P. K. Om forbindelsen mellem to punkter i et fuldstændig ikke-holonomisk rum med en tilladt linje. Uch. app. Moskva stat ped. in-ta im. K. Liebknecht. Ser. Fiz.-Mat., 3:2 (1938), 83-94
↑ Chow WL Uber Systeme von linearen partiallen Differentialgleichungen erster Ordnung. Matematik. Ann. 117 (1939), 98-105
↑ K. V. Storozhuk . Carathéodory-Rashevsky-Chow-sætningen for Lipschitz ikke-holonomiske fordelinger. Sib. matematik. zhurn., 54:6 (2013), 1380-1387

Litteratur

Bellaiche, André & Risler, Jean-Jacques, red. (1996), Sub-Riemannian geometri , vol. 144, Progress in Mathematics, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3 , < https://books.google.com/books?id=7Z7IMze7pDwC >

Gromov, Mikhael (1996), Carnot-Carathéodoriske rum set indefra , i Bellaïche, André & Risler., Jean-Jacques, Sub-Riemannian geometri , vol. 144, Progr. Math., Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, s. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3 , < http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/carnot_caratheodory.pdf > Arkiveret 27. september 2011 på Wayback Machine

Le Donne, Enrico, Forelæsningsnoter om sub-Riemannsk geometri , < https://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/5339/sub-Riem_notes.pdf >

Richard Montgomery , A Tour of Subriemannian Geometries, their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91) , (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9 .

Agrachev, Andrei A.; Barilari, Davide; Boscain, Ugo , Introduktion til Riemannsk og sub-Riemannsk geometri

RS Strichartz , Sub-Riemannsk geometri, Journal of Differential Geometry 24 (1986), 221-263 .