Bevægelig funktion

En bevægende singularitet (eller bevægende singularitet ) af en generel løsning til en almindelig differentialligning er et sådant singularpunkt i løsningen, der er forskellig for forskellige specifikke løsninger af den samme ligning. Det vil sige, de siger, at den generelle løsning af en differentialligning har en bevægende singularitet, hvis forskellige særlige løsninger af denne ligning har en singularitet på forskellige punkter, afhængigt af den parameter (f.eks. på startbetingelserne), der bestemmer en bestemt bestemt løsning [1] . Singulære punkter, der ikke afhænger af en bestemt løsning, kaldes faste singulariteter (eller faste singulariteter). Bevægende singulariteter spiller en vigtig rolle i studiet af løsninger af almindelige differentialligninger i det komplekse plan [2] .

Eksempel

Overvej for eksempel ligningen

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2y}}

Dens løsninger vil være for enhver konstant c . Disse løsninger har et enkelt punkt ved . Denne ligning har således en bevægende singularitet. $y={\sqrt {xc))$ $x=c$

Lineære differentialligninger

På den anden side er det kendt, at en lineær differentialligning kun kan have et singularpunkt i selve ligningens singularpunkter. Derfor kan en lineær differentialligning ikke have en bevægende singularitet [2] .

Painlevé-ejendommen

Et enkeltpunkt for en kompleks funktion med flere værdier kaldes kritisk (eller forgreningspunkt ), hvis funktionen ændrer værdi, når den går rundt om dette punkt (det er f.eks. et kritisk punkt for funktionen ). $z=0$ ${\sqrt {z))$

En almindelig differentialligning siges at have Painlevé-egenskaben, hvis dens løsninger ikke har kritiske bevægelige singulariteter.

For eksempel har ligningen løsninger , hvor er en vilkårlig konstant. Disse løsninger har et bevægeligt ental, ikke-kritisk punkt . Ligningen har løsninger . Det enestående punkt i denne ligning vil allerede være kritisk. Således har ligningen Painlevé-egenskaben, men ikke. $w'=-w^{2}$ ${\displaystyle (c+z)^{-1))$ $c$ $z=-c$ ${\displaystyle w'=-w^{3))$ $(c+2z)^{-1/2}$ $w'=-w^{2}$ ${\displaystyle w'=-w^{3))$

Paul Painlevé og hans elever viste, at der kan opnås en generel løsning for ligninger med denne egenskab. Hvis ligningen ikke har egenskaben Painleve, så er det som regel ikke muligt at få dens løsning [2] .

Studiet af differentialligninger på Painlevé-egenskaben kaldes Painlevé- analyse .

Historie

Begrebet et bevægende ental punkt blev introduceret af Lazar Fuchs . I 1884 beviste Fuchs, at blandt alle første-ordens ligninger af formen

w'=F(z,w),

hvor funktionen er lokalt analytisk i det første argument og rationel i det andet, er det kun Riccati-ligningen , der ikke har bevægelige kritiske entalspunkter . $F$

Sofia Kovalevskaya , der studerede problemet med rotationen af en top, beviste, at løsningerne på dette problem ikke har bevægelige kritiske entalspunkter i kun tre tilfælde. Løsninger på problemet i de første to tilfælde blev tidligere opnået af Leonhard Euler og Joseph Lagrange . Kovalevskaya modtog løsninger til den tredje sag. Sofya Kovalevskaya var således den første til at opdage fordelene ved differentialligninger med den egenskab, vi nu kalder Painlevé-egenskaben. I 1888 blev hun tildelt Borden-prisen fra Paris Academy of Sciences for dette arbejde .

Paul Painlevé studerede andenordens differentialligninger omkring 1900

w''=F(z,w,w'),

hvor funktionen er lokalanalytisk i det første argument og rationel i de to sidste. Painlevé og hans elever Bertrand Gambier , René Garnier og andre beviste, at blandt alle mulige sådanne ligninger er det kun 50 kanoniske ligninger, der har Painlevé-egenskaben. Det viste sig, at 44 af disse 50 ligninger kan udtrykkes i form af kendte funktioner, og for løsningerne af de resterende seks ligninger introducerede Painlevé og Gambier særlige funktioner, som nu kaldes Painlevé-transcendenter [2] . $F$

Se også

Painlevé teorem

Noter

↑ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. Avancerede matematiske metoder for videnskabsmænd og ingeniører : Asymptotiske metoder og perturbationsserier . - Springer, 1999. - S. 7.
↑ 1 2 3 4 N. A. Kudryashov . Painlevé-egenskaben i teorien om differentialligninger // Soros Educational Journal : Journal. - 1999. - Nr. 9 . - S. 121-122 . Arkiveret fra originalen den 1. juni 2016.